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2025年高考数学天津-7

  2026-10-10 17:44:48  

(5分)函数$f(x)=0.3^{x}-\sqrt{x}$的零点所在区间是(  )
A.$(0,0.3)$              B.$(0.3,0.5)$              C.$(0.5,1)$              D.$(1,2)$
〖答案〗$B$
〖分析〗由指数函数及幂函数的性质可得$y=f(x)$在$[0$,$+\infty )$上单调递减,再由零点存在定理求解即可.
〖解答〗解:因为$f(x)=0.3^{x}-\sqrt{x}$,$x\geqslant 0$,
又因为$y=0.3^{x}$与$y=-\sqrt{x}$在$[0$,$+\infty )$上均单调递减,
所以$f(x)=0.3^{x}-\sqrt{x}$在$[0$,$+\infty )$上单调递减,
又因为$f(0)=1 > 0$,$f(0.3)=0.3^{0.3}-\sqrt{0.3}=\sqrt{{0.3}^{0.6}}-\sqrt{0.3} > 0$,
$f(0.5)=0.3^{0.5}-\sqrt{0.5}=\sqrt{0.3}-\sqrt{0.5} < 0$,
由零点存在定理可得,
$\exists x_{0}\in (0.3,0.5)$,使$f(x_{0})=0$,
即函数$y=f(x)$的零点所在区间为$(0.3,0.5)$.
故选:$B$.
〖点评〗本题旨在考查了零点存在定理,考查了指数函数、幂函数的性质,属于中档题.

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