2004年

 解答题

（15）（本小题满分13分）

    在中，，，，求的值和的面积

     解 答

（16）（本小题满分14分）

    如图，在正三棱柱中，AB＝3，，M为的中点，P是BC上一点，

且由P沿棱柱侧面经 过棱到M的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N，

求：

    （I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长

    （II）PC和NC的长

    （III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）

解答

    （17）（本小题满分14分）

        如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线

     分别交抛物线于A（），B（）

     （I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离

     （II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB

      的斜率是非零常数

                   解答

（18）（本小题满分14分）

    函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，

    在每个区间（1，2……） 上，的图象都是斜率为同一常数k的

    直线的一部分。

    （I）求及，的值，并归纳出的表达式

    （II）设直线，，x轴及的图象围成的矩形的面积为

    （1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值

    解答

（19）（本小题满分12分）

    某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=15km，BC=3km，在列车运行

     时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分

     到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行

驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时

间之差 的绝对值称为列车在该站的运行误差。

    （I）分别写出列车在B、C两站的运行误差

    （II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围

    解答

（20）（本小题满分13分）

    给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按

    下列要求进行分组，每 组数之和不大于150且分组的步骤是：

    首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与

    所有可能的其他选择相 比是最小的，称为第一组余差；

    然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，

    这时的余差为； 如此继续构成第三组（余差为）、第四组（余差为）、……，

直至第N组（余差为）把这些数全部分 完为止。

    （I）判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
   

    （II）当构成第n（n<N）组后，指出余下的每个数与的大小关系，

并证明

    （III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：

   解答

2005年

解答题

15 （本小题共13分）

已知函数

    (I)求的单调递减区间；

     (Ⅱ)若在区间[一2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值

      解答  

16 (本小题共14分)

如图,在直四棱柱中,,

    垂足为

     (Ⅰ)求证;

     (Ⅱ)求二面角的大小;

     (Ⅲ)求异面直线与所成角的大小

 解答

17 (本小题共13分)

甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为

(Ⅰ)记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望;

(Ⅱ)求乙至多击中目标2次的概率;

(Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率

解答

18 (本小题共14分)

     如图,直线与直线之间的阴影区域(不含边界)记为,

     其左半部分记为,右半部分记为

      (Ⅰ)分别有不等式组表示和

      (Ⅱ)若区域中的动点到的距离

     之积等于,求点的轨迹的方程;

      (Ⅲ)设不过原点的直线与(Ⅱ)中的曲线

     相交于两点,且与分别交于两点.

     求证△的重心与△的重心重合

解答

19 (本小题共12分)

设数列的首项,且,记

(Ⅰ)求

(Ⅱ)判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;

(Ⅲ)求

解答

20 （本小题共14分）

设是定义在[0，1]上的函数，若存在，使得在[0，]上

单调递增，在[，1]单调递减，则称为[0，1]上的单峰函数，为峰点，

包含峰点的区间为含峰区间

对任意的[0，1]上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法

（Ⅰ）证明：对任意的 , ,若，则（0，）为

含峰区间；若，则（，1）为含峰区间；

（Ⅱ）对给定的（0<<0.5），证明：存在,满足，

使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+;

(Ⅲ)选取, 由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，）或（，1），

在所得的含峰区间内选取,由与或与类似地可确定是一个新的含峰区间．

在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定的值，满足两两

之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

 解答

2006年

解答题

（15）（本小题共12分）

已知函数f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的定义域；

（Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=－求f（α）的值.

解答

（16）（本小题共13分）

 已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值5，其导函数y=f′（x）

的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：

（Ⅰ）x₀的值；

（Ⅱ）a，b，c的值.

^解答

（17）（本小题共14分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，

且PA=AB，点E是PD的中点.

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；

（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC；

（Ⅲ）求二面角E-AC-B的大小.

解答

(18)(本小题共13分)

    某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．

    方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

    方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．

    假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程

考试是否及格相互之间没有影响．

(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．(说明理由)

解答

(19)(本小题共14分)

    已知点M（-2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=2.记动点P的

轨迹为W.

    (Ⅰ)求W的方程；

    (Ⅱ)若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．

解答

(20)(本小题共14分)

    在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|,n=3，4，5，…，

则称{a_n}为“绝对差数列”.

    (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；

    (Ⅱ)若“绝对差数列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+ a_n+1

+ a_n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存

在，求出其极限值；

（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

       解答

2007年

 解答题

15．（本小题共13分）

数列中，，（是常数，），

且成公比不为的等比数列．

（I）求的值；

（II）求的通项公式．

解答

16．（本小题共14分）

如图，在中，，斜边．可以通过以

直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

（I）求证：平面平面；

（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；

（III）求与平面所成角的最大值．

解答

17．（本小题共14分）

矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，

点在边所在直线上．

（I）求边所在直线的方程；

（II）求矩形外接圆的方程；

（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

解答

18．（本小题共13分）

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．

该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们

参加活动次数恰好相等的概率．

（III）从合唱团中任选两名学生，

用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，

求随机变量的分布列及数学期望．

解答

19．（本小题共13分）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成

等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，

记，梯形面积为．

（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

（II）求面积的最大值．

解答

20．已知集合，其中，由中的元素

构成两个相应的集合：

，．

其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．

若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，

写出相应的集合和；

（II）对任何具有性质的集合，证明：；

（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．

解答