的左、右焦点分别为
，
．过的直线交椭圆于
两点，解答题
全国卷Ⅰ(理)
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，
过的直线交椭圆于
两点，且
，垂足为
．
（Ⅰ）设点的坐标为
，证明：
；
（Ⅱ）求四边形
的面积的最小值．
全国卷Ⅱ(理)
21．（本小题满分12分）
设数列
的首项
．
（1）求
的通项公式；
（2）设
，证明
，其中
为正整数．
北京卷(理)
19．（本小题共13分）
如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为
，短半轴长为
，计划将此钢板切割成
等腰梯形的形状，下底
是半椭圆的短轴，上底
的端点在椭圆上，
记
，梯形面积为
．
（I）求面积
以
为自变量的函数式，并写出其定义域；
（II）求面积
的最大值．
天津卷(理)
21．（本小题满分14分）
在数列
中，
，其中
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前
项和
；
（Ⅲ）证明存在
，使得
对任意
均成立．
上海卷(理)
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分9分．
如果有穷数列
（
为正整数）满足条件
，
，
…，
，即
（
），我们称其为“对称数列”．例如，
由组合数组成的数列
就是“对称数列”．
（1）设
是项数为7的“对称数列”，其中
是等差数列，且
，
．依次写出
的每一项；
（2）设
是项数为
(正整数
)的“对称数列”，其中
是
首项为
，公差为
的等差数列．记
各项的和为
．当
为何值时，
取得最大值？并求出
的最大值；
（3）对于确定的正整数
，写出所有项数不超过
的“对称数列”，
使得
依次是该数列中连续的项；当
时，求其中一个
“对称数列”前
项的和
．
辽宁卷(理)
21．（本小题满分12分）
已知数列
，
与函数
，
，
满足条件：
，
.
（I）若
，
，
，
存在，求
的取值范围；
（II）若函数
为
上的增函数，
，
，
，证明对任意
，
（用
表示）．
江苏卷
21．（本题满分16分）
已知
是不全为零的实数，函数
，
．
方程
有实数根，且
的实数根都是
的根；反之，
的实数根都是
的根．
（1）求
的值；（3分）
（2）若
，求
的取值范围；（6分）
（3）若
，
，求
的取值范围．（7分）
浙江卷(理)
（22）（本题15分）设
，对任意实数
，记
．
（I）求函数
的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当
时，
对任意正实数
成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数
，使得
对任意正实数成立．
福建卷(理)
21．（本小题满分12分）
等差数列的前
项和为
．
（Ⅰ）求数列
的通项
与前
项和
；
（Ⅱ）设
，求证：数列
中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
湖北卷(理)
20．（本小题满分13分）
已知定义在正实数集上的函数
，
，其中
．
设两曲线
，
有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用
表示
，并求的最大值；
（II）求证：
（
）．
湖南卷(理)
20．（本小题满分12分）
已知双曲线
的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线
相交于
两点．
（I）若动点
满足
（其中
为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在
轴上是否存在定点
，使
·
为常数？若存在，求出点
的坐标；
若不存在，请说明理由．
广东卷(理)
20．（本小题满分14分）
已知
是实数，函数
，如果函数
在区间
上有零点，
求的取值范围．
重庆卷(理)
21．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）
已知各项均为正数的数列
的前项和满足
，且
，
．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
，并记
为的前项和，求证：
．
山东卷(理)
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的
最大值为
，最小值为
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线
与椭圆相交于
，
两点（
不是左右顶点），
且以
为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．
江西卷(理)
21．（本小题满分12分）
设动点到点
和
的距离分别为
和
，
，且存在常数
，
使得
．
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）过点作直线双曲线的右支于
两点，
试确定
的范围，使
，其中点为坐标原点．
陕西卷(理)
21．（本小题满分14分）
已知椭圆
的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆交于
两点，坐标原点
到直线
的距离为
，
求
面积的最大值．
四川卷(理)
（21）（本小题满分12分）
已知函数
，设曲线
在点
处的切线与X轴的交点
，
其中x1为正实数。
(Ⅰ)用xn表示xn+1；
(Ⅱ)求证：对一切正整数n，
的充要条件是
；
(Ⅲ)若x1=4，记
，证明数列{an}成等比数列，并求数列{an}的通项公式。
安徽卷(理)
20．（本小题满分13分）
在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，
不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把
笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭
小孔．以
表示笼内还剩下的果蝇的只数．
（Ⅰ）写出
的分布列（不要求写出计算过程）；
（Ⅱ）求数学期望
；
（Ⅲ）求概率
．
海南宁夏卷(理)
21．（本小题满分12分）
设函数
（I）若当
时，
取得极值，求
的值，并讨论
的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于
．
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