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选修2-1
直线与椭圆的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系
<-->
直线与双曲线的位置关系
直线与椭圆的位置关系
①位置关系的实质：
“交点个数”与“解的个数”的对应。
②直线与椭圆位置关系的判断：
已知椭圆
：
，直线
，联立得
，
，则
当
时，直线与椭圆相交于两点；当
时，直线与椭圆相切于一点；当
时，直线与椭圆不相交，即相离。
③直线与椭圆位置关系的特点研究：
Ⅰ、直线与椭
圆相交于
两点，若直线的斜率为
，则弦长
为
。
Ⅱ、直线与椭
圆相切于点
，若椭圆方程是
，
则过切点
的椭圆切线方程为
。
此外，求椭圆切线方程的一般方法是：“联立—消元—
”。
Ⅲ、
直线与椭圆相离，则可求直线与椭圆距离最近与最远的点，或求直线与椭圆最短与最长的距离。
设椭圆
：
，直线
。
方法1：如图，
是椭圆上任意一点，求点
到直线
的距离的最值，这个最值就是直线与椭圆的最短与最远的距离。即求
的最值。
方法2：如图，平行于直线
的动直线
：
与椭圆
相切时，平行线
与
之间的最短或最远距离就是直线与椭圆最短或最远的距离。
直线与圆锥曲线的位置关系
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直线与双曲线的位置关系
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：
，直线
，联立得
，
，则
两点，若直线的斜率为
，则弦长
为
。
，若椭圆方程是
，
。
是椭圆上任意一点，求点
到直线
的距离的最值，这个最值就是直线与椭圆的最短与最远的距离。即求
的最值。
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与椭圆
