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椭圆的几何性质

椭圆的标准方程<-->椭圆与点的位置关系

椭圆的几何性质
①椭圆的范围
由椭圆标准方程知，椭圆上点的坐标满足不等式，
∴ ，， ∴，，得，。
这表明椭圆位于直线，所围成的矩形框里。
②椭圆的对称性

在椭圆标准方程里，以代替方程不变，所以若点在曲线上时，
则点也在曲线上，所以曲线关于轴对称；
同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称；同时以代替，
代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，
原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。
③椭圆的顶点
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为
和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④椭圆的定型三角形
由椭圆的对称性知，椭圆的短轴端点到焦点的距离为，那么短轴端点、焦点和椭圆中心三点构成椭圆的定型的直角三角形，称之为椭圆的定型三角形。
即在中， ，即。
⑤椭圆的离心率：
椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
特殊地，当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
⑥椭圆的焦半径
若是椭圆上任一点，是椭圆的左焦点和右焦点，则椭圆的焦半径为

；
若是椭圆上任一点，是椭圆
的下焦点和上焦点，则椭圆的焦半径为
。
在求过椭圆焦点的弦长时，利用焦半径公式非常方便，设弦AB，其中若AB过焦点，则.
⑦准线方程
当点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，同样得到椭圆的标准方程 （其中）。 这条定直线叫椭圆的准线。
根据图形的对称性，椭圆有两条准线，对于中心在原点，焦点在轴上的椭圆，与焦点对应的准线方程分别为；
对于中心在原点，焦点在轴上的椭圆，与焦点对应的准线方程分别为。

椭圆的标准方程<-->椭圆与点的位置关系

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