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24.3.5简化和避免分类讨论的优化策略<-->24.4.2一般与特殊的转化
转化与化归思想概述
所谓化归思想就是通过转化,使所要解决的问题由难变易或变为已经解决的问题,或者把某一数学分支中的问题变为另一数学分支中的问题,以有利于解决的一种数学思想.
化归思想常常以变换题目的结构形式、变更问题、从反面探究结论等方式出现,前面所介绍的函数思想、方程思想、数形结合、分类讨论等都是重要的化归方法.
(1)常见的转化方法
①直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题;
②换元法:运用“换元”把非标准形式的方程不等式、函数转化为容易解决的基本问题;
③参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化;
④构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题;
⑤坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题是转化方法的一种重要途径;
⑥类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化的途径;
⑦特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题;
⑧一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且较难解决,可将问题通过一般化的途径进行转化;
⑨等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的;
⑩补集法:(正难则反)若通过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集$\complement _U A$获得原问题的解.
(2)化归与转化应遵循的基本原则
①熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决;
②简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据;
③和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律;
④直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决;
⑤正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求使问题获解.
(3)常用的转化与化归思想
①未知转化为已知(复杂转化为简单);
②函数与方程的相互转化;
③空间与平面的相互转化;
④)常量与变量的相互转化;
⑤数与形的相互转化;
⑥一般与特殊的相互转化;:
⑦正与反的相互转化;
⑧等与不等的相互转化
24.4.1复杂问题转化为简单题问题
将复杂问题转化为简单问题是最基本的解题策略,它有助于各个击破,从而使问题获得解决.
24.3.5简化和避免分类讨论的优化策略<-->24.4.2一般与特殊的转化
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