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24.2.4利用数形结合思想分析和解决问题时需注意的问题<-->24.3.2对条件是分类给出的问题进行分类讨论
分类讨论思想概述
分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的答案。
(1)简析引起分类讨论的原因
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论的思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种:
①涉及的数学概念是分类讨论的.如绝对值la的定义分a>0,a=0,a<0 三种情况,这种分类讨论的题型称为概念型:
②)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的.如等比数列的前几项和的公式,分q=1和9≠1两种情况,这种分类讨论的题型称为性质型;
③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性;
④数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果.如解不等式ax>2时分a>0a=0和a<0三种情况讨论,这种分类讨论的题型称为含参型;
⑤较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.
(2)分类原则
①对所讨论的全域分类要“既不重复,也不遗漏”;
②在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行;
③对多级讨论,应逐级进行,不能越级.
(3)分类方法
①概念和性质是分类的依据;
②按区域(定义域或值域)进行分类是基本方法;
③不定因素(条件或结论不唯一,数值大小的不确定,图形位置的不确定)是分类的突破口;
④层次分明是分类讨论的基本要求.
(4)分类讨论的基本步骤
①确定分类标准;
②合理分类;
③逐类讨论;
④归纳整体结论.
24.3.1对问题的变量或参数进行分类讨论
数学问题中含有变量或参数,这些变量或参数取不同的值会导致不同的结果,或者由于参数的不同值要运用不同推算方法,因此要对参数分类讨论.
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