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15.3.5组合应用题<-->15.3.7排列、组合的综合问题
15.3.6组合问题的常见类型及求解方法
应用题中，常见的关于组合问题的不同类
型有:
(1)“含”或“不含”某个元素的问题
所选取的组合中“含”或“不含”某个元素,处理这类问题的方法通常是直接法,如从5个学生中选出3个参加某个活动,若甲学生必须选取,则只能在余下的4人中选出2人即$C_4^2$种取法.若甲学生不能选取,那么在余下的4人中选出3人即$C_4^3$种选法.
(2)“至多”或“至少”问题
处理“至多”或“至少”问题通常采用排除法，也可以用直接法.例如,从3名男生,2名女生中选出3人参加某项活动.若至少有1名女生的选法种数为:$C_5^3-C_3^3=9$(种)或$C_2^1 \cdot C_3^2 + C_2^2 \cdot C_3^1=9$(种);若至多有2名男生的选法为:$C_5^3-C_3^3=9$(种)或$C_3^2 C_2^1 + C_3^1 C_2^2=9$(种).此问题易错为$C_2^1 C_4^2=12$(种).
(3)几何组合应用问题
解决几何图形中的组合问题,首先应利用处理组合问题的常规方法,其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题,往往寻找一个组合的模型处理.如平面上m个点构成多少个三角形,即在m个元素中取出3个元素的组合数(除去共线的情况)就是三角形的个数.空间有几个点构成多少个面体,即与在几个元素中取出4个元素的组合数(除去共面的情况)相等,若组成多少对异面直线，也可以构造四面体模型处理.此外,解决几何问题时,必须注意几何问题本身的限制条件.
如共线、共面、交点等要注意分清“对应关系”如不共线的三点对应一个三角形,不共面的四点确一个四面体等,解题时可借助图形来帮助思考，并善于利用几何性质于解题之中.
图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用排除法.
在处理几何问题中的组合应用问题时,应先明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系将几何问题抽象成组合问题来解决.
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