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6.3.1化简问题<-->6.3.3证明问题
三角求值,要注意根据已知条件判断角所在的范围,正确选择三角函数值的符号,并重视三角表达式的恒等变形.求值问题一般有下面三种基本类型.
(1)给角求值
即在不查表的前提下求值,一般方法是将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数值,或将非特殊角的三角函数值消去.解决这类问题需仔细观察非特殊角与特殊角之间的联系,准确灵活地运用三角函数恒等变形公式.
具体角度的题的解法是向特殊角靠拢或将非特殊角消去,三角公式的灵活运用、倒用以及拆角技巧等起着关键作用.
①利用二倍角公式和平方关系求值
观察所给的角与哪个特殊角接近,通过变形使之与二倍角公式吻合,关键是变形,向特殊角靠拢是常用技巧.
②倒用和角公式求值的技巧
倒用和角公式在给角求值中应用最多,灵活掌握公式的各种变形是求解的关键,因此要学会公式的正用、逆用、变形用,能根据题目的特点,灵活地选用公式.
③如何通过拆角与并角求值
拆角与并角的原则是描准特殊角,将非特殊角约去或消掉,达到化简求值的目的,其中“凑角法”是常用技巧.
④角度成等差、等比数列的求值
角度成等差、等比数列的三角函数的和、积的求值,可选用下面规律:
a.角度成等差的正弦、余弦之和,一般是乘以角度的公差的一半的正弦,和差化积后交叉消去即可.
b.角度成公比为2的等比数列的余弦积,一般是乘以这个角度的正弦的2"倍,其中"是余弦因子的个数,再用正弦的二倍角公式求解:
c.有些题虽不属于上述两种类型,但可通过诱导公式转化为上述两种类型.
d.若不能转化为第一、第二类型,则需具体情况具体分析,通常采取“凑特殊角”的方法.
(2)给值求值
给值求值即给出某些三角函数的值,求与之相关的其他三角函数值.解题关键是活用公式,需正确处理好“和与差”“倍与半”“弦与切”“升与降”之间的关系
①利用和角公式及二倍角公式的求值问题
利用平方关系、和角公式、二倍角公式求值是高考的重点考查内容,要熟悉把含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的技巧,注意“倍与半”的相对性,如$4\alpha$是$2\alpha$的二倍,$\dfrac{\alpha}{2}$是$\dfrac{\alpha}{4}$的二倍,$\dfrac{\pi}{2} \pm 2\alpha$ 是$\dfrac{\pi}{4} \pm \alpha$ 的二倍等.公式的熟练程度决定着我们的思维方式,因此要熟记公式.
②三角齐次式的求值问题
三角齐次式的求值,大部分解法都不外乎将已知与平方关系结合组成方程组.其中$\sin x+\cos x，\sin x-\cos x,\sin x\cos x$三个式子中,已知其中一个式子的值,就可求另外两个的值,解题时注意灵活运用这组关系,并注意正弦函数值在各象限的符号的判别.
③用万能公式的求值问题
半角公式、万能公式,在教学目标中提到:“在运用三角公式化简三角函数式,求值和证明恒等式时,引用这些公式,但不要求记忆.”考试要求中已不再提及.因此,高考对这部分内容的要求不会提高.
④常用的“拆角”技巧
拆角与并角”是求解三角题的常用技巧,解题时要注意灵活运用,注意与和角公式、整体思想等结合.常用的“拆角”技巧有:
$α=(α-β)+β=(α+β)-β$;
$2α-β=(α-β)+α$;
$α=\dfrac{α+β}{2}+\dfrac{α-β}{2}$
$β=\dfrac{α+β}{2}-\dfrac{α-β}{2}$
$2α+β=(α+β)+α=2(α+β)-β$;
$2α=(α+β)+(α-β)$,等等.
(3)给值求角
给出三角函数值或相关的三角关系,求符合条件的角,这类问题大部分都与特殊角发生关系,主要考查三角恒等变形能力,对变形技巧要求较高。其基本思路是“欲求角,先求值”。
解决给值求角问题要注意以下两点:
①角的范围的讨论;
②所求角的三角函数名称的选择
已知三角函数值求角,选函数时,可按照下列原则:
一般已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦三角函数值,选正弦或余弦函数,若角范围是$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$,有时选正弦函数,也有时选余弦函数,
若角范围是$\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$,选正弦函数比余弦函数好;
若角的范围是$(0,\pi)$,选余弦函数比正弦函数好.
解这类问题一般分三步:
第一步求角的某一个三角函数值;
第二步确定角所在的范围;
第三步得结论求得所求角的值。
(4)给值求和
三角求值除了上面列举的常见题型和方法外还有一些与定义或其他知识结合的题目,这些题目往往新颖别致,需要综合利用所学知识,掌握必要的技能才能顺利求解.
6.3.1化简问题<-->6.3.3证明问题
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