3.1.10 求函数解析式的常用方法

（1）待定系数法：已知函数类型，求函数的解析式，可用待定系数法，比如函数是二次函数，可设为

$f(x)=ax^2+bx+c(a \neq 0)$ ，其中

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 即可.
（2）换元法：由已知条件

$f[g(x)]=F(x)$ ，可令

$t=g(x)$ ，然后反解出

$x=g^-1 (t)$ ，代入

$F(x)$ 即可得

$f(t)$ 的表达式.
例如：已知

$f(e^{x-1})=2x^2-1$ ,可令

$t=e^{x-1}(t>0)$ ，则

$x=1+\ln t$ ，代入已知条件得

$f(t)=2(1+\ln t )^2-1=2\ln ^2 t+4\ln t +1$ ，
即

$f(x)=2\ln ^2 x +4 \ln x +1 (x>0)$ .
（3）配凑法：若已知

$f[g(x)]$ 的解析式，要求

$f(x)$ 时，可从

$f[g(x)]$ 的解析式中拼凑出"

$g(x)$ "，即用

$g(x)$ 来表示，再将解析式的两边的

$g(x)$ 用

$x$ 代替即可.
（4）函数方程法：将

$f(x)$ 作为一个未知数来考虑，建立方程（组），消去另外的未知数便得

$f(x)$ 的表达式.
例如：已知

$f(x)-f(\dfrac{1}{x})\ln x =1$ ，以

$\dfrac{1}{x}$ 代替

$x$ ，
由条件又得

$f(\dfrac{1}{x})+f(x)\ln x =1$ ，两式中消去

$f(\dfrac{1}{x})$ ，
便得

$f(x)=\dfrac{1+\ln x}{1+ \ln^2 x}$ .
（5）赋值法：求抽象函数的解析式时，有时需要对自变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.

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