1.2.1 子集与真子集

(1)子集($\subseteq$)

一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,那么称集合A为集合B的子集,记作$A\subseteq B$(或$B\supseteq A$).

[说明] “A是B的子集”的含义是:集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即由任意$x\in A$,都能推出$x\in B$.

(2)真子集($\subsetneqq$)

对于两个集合A和B,若$A\subseteq B$,但存在元素$x\in B$,且$x\notin A$,则称集合A是集合B的真子集,记作$A\subsetneqq B$(或$B \supsetneqq  A$).

[说明] 事实上, $A\subseteq B$包括$A=B$和$A \subsetneqq ,B$两种情况,两者必居其一,若存在$x\in B$且$x\notin A$,这说明$A\ne B$,只能$A\subsetneqq B$.因此使用时要正确选择.
 

例 下列命题正确的是( ).

A.任何一个集合必有两个或两个以上的子集

B.任何一个集合必有一个真子集

C.任何集合都有子集

D.空集不是空集的子集

解析 此题主要考查对子集、真子集概念的理解以及空集的有关问题，只要注意以下几个结论就可以解决：①任何非空集合既有子集又有真子集，而空集只有子集（空集本身），没有真子集. ②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.故A，B，D是错误的，应选C.

[答案]  C