高考数学必做百题第71题（理科2017版）

直线与圆

071.（1）（2016新课标Ⅱ理4）圆${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-8y+13=0$的圆心到直线$ax+y-1=0$的距离为1，则$a$=（    ）

A.$-\dfrac{4}{3}$      B.$-\dfrac{3}{4}$     C.$\sqrt{3}$     D.$2$

（2）（2016新课标Ⅲ理16）已知直线$l$：$mx+y+3m-\sqrt{3}=0$与圆${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=12$交于$A,B$两点，过$A,B$分别做$l$的垂线与$x$轴交于$C,D$两点，若$AB=2\sqrt{3}$，则$|CD|=$______。

解：（1）∵圆方程化为${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=4$，

∴圆心为$\left( 1,4 \right)$。

∵圆心到直线$ax+y-1=0$的距离为1，

∴$d=\dfrac{\left| a+4-1 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}=1$，解得$a=-\dfrac{4}{3}$。故选A。

考点：圆的方程，点到直线的距离公式。

（2）∵$\left| AB \right|=2\sqrt{3}$，且圆的半径为$2\sqrt{3}$，

设$AB$中点为$M$，由垂径分弦定理得

$\left| OM \right|=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}}=3$。

又圆心$(0,0)$到直线$mx+y+3m-\sqrt{3}=0$的距离为$\left| OM \right|=\dfrac{\left| 3m-\sqrt{3} \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+1}}$，

即$\dfrac{\left| 3m-\sqrt{3} \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+1}}=3$，解得$m=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，

代入直线$l$的方程，得$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}$。

∴直线$l$的倾斜角为$30^\circ$。

在梯形$ABCD$中， 

得$\left| CD \right|=\dfrac{\left| AB \right|}{\cos {30^\circ}}=4$。

考点：直线与圆的位置关系．