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高考数学必做百题第69题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第71题（理科2017版）
070.已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90∘,PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=12，且AB=1，M是PB的中点。
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求AC与PB所成的角；
（3）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。
（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，且CD⊂底面ABCD，
∴PA⊥CD。
∵AB//DC，∠DAB=90∘，
∴AD⊥DC，（转化为证明线线垂直）
又PA⋂AD=A，
∴DC⊥面PAD。（转化为证明线面垂直）
又DC⊂平面PCD
∴平面PAD⊥平面PCD。
（2）解：如图，以A为坐标原点，AD长为单位长度，建立空间直角坐标系A−xyz
则各点坐标为A(0,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0), D(1,0,0),P(0,0,1), M(0,1,12)。
∵→AC=(1,1,0), →PB=(0,2,−1)
∴|→AC|=√2, |→PB|=√5, →AC⋅→PB=2，
cos<→AC,→PB>=→AC⋅→PB|→AC|⋅|→PB|=√105，
（3）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在λ∈R使→NC=λ→MC。
∵→NC=(1−x,1−y,−z)), →MC=(1,0,−12)，
∴x=1−λ,y=1,z=12λ。
要使AN⊥MC，只需→AN⋅→MC=0，
x−12z=0, λ=45。
∴当λ=45时，点N的坐标为(15,1,25)，能使
→AN⋅→MC=0，即能使AN⊥MC。
此时→AN=(15,1,25),→BN=(15,−1,25)，
∴→BN⋅→MC=0。
∴BN⊥MC。
∵AN⊥MC,BN⊥MC，
∴∠ANB为所求二面角的平面角。
∵|→AN|=√305,|→BN|=√305,→AN⋅→BN=−45，
∴cos(→AN,→BN)=→AN⋅→BN|→AN|⋅|→BN|=−23。
∴所求二面角的余弦值为−23。
（根据二面角的平面角的定义，应用向量方法寻找二面角的平面角比较简单。如果采用求二面角的两个半平面的法向量的方法，总体计算量比较大）
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