高考数学必做百题第70题（理科2017版）

070.已知四棱锥$P-ABCD$的底面为直角梯形，$AB//DC$，$\angle DAB={{90}^{\circ }},PA\bot $底面$ABCD$，且$PA=AD=DC=\dfrac{1}{2}$，且$AB=1$，$M$是$PB$的中点。

（1）证明：平面$PAD\bot$平面$PCD$；

（2）求$AC$与$PB$所成的角；

（3）求面$AMC$与面$BMC$所成二面角的余弦值。

（1）证明：∵$PA \bot 底面ABCD$，且$CD\subset 底面ABCD$，

∴$PA\bot CD$。

∵$AB//DC$，$\angle DAB={{90}^{\circ }}$，

∴$AD\bot DC$，（转化为证明线线垂直）

又$PA\bigcap AD=A$，

∴$DC\bot 面PAD$。（转化为证明线面垂直）

又$DC\subset 平面PCD$

∴平面$PAD$⊥平面$PCD$。

（2）解：如图，以$A$为坐标原点，$AD$长为单位长度，建立空间直角坐标系$A-xyz$

则各点坐标为$A(0,0,0),\ B(0,2,0),\ C(1,1,0),\ D(1,0,0),P(0,0,1),\ M(0,1,\dfrac{1}{2})$。

∵$\overrightarrow{AC}=\left( 1,1,0 \right),\ \ \overrightarrow{PB}=\left( 0,2,-1 \right)$

∴$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2},\ \ |\overrightarrow{PB}|=\sqrt{5},\ \ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}=2$，

$\cos <\overrightarrow{AC},\overrightarrow{PB}>=\dfrac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}}{\left| \overrightarrow{AC} \right|\cdot \left| \overrightarrow{PB} \right|}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$，

 （3）解：在$MC$上取一点$N(x,y,z)$，则存在$\lambda \in R$使$\overrightarrow{NC}=\lambda \overrightarrow{MC}$。

∵$\overrightarrow{NC}=\left( 1-x,1-y,-z \right)),\ \ \overrightarrow{MC}=\left( 1,0,-\dfrac{1}{2} \right)$，

∴$x=1-\lambda ,y=1,z=\dfrac{1}{2}\lambda $。

要使$AN\bot MC$，只需$\overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{MC}=0$，

$x-\dfrac{1}{2}z=0,\ \ \lambda =\dfrac{4}{5}$。

∴当$\lambda =\dfrac{4}{5}$时，点$N$的坐标为$\left( \dfrac{1}{5},1,\dfrac{2}{5} \right)$，能使

$\overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{MC}=0$，即能使$AN\bot MC$。

此时$\overrightarrow{AN}=\left( \dfrac{1}{5},1,\dfrac{2}{5} \right),\overrightarrow{BN}=\left( \dfrac{1}{5},-1,\dfrac{2}{5} \right)$，

∴$\overrightarrow{BN}\cdot \overrightarrow{MC}=0$。

∴$BN\bot MC$。

∵$AN\bot MC,BN\bot MC$，

∴$\angle ANB$为所求二面角的平面角。

∵$|\overrightarrow{AN}|=\dfrac{\sqrt{30}}{5},|\overrightarrow{BN}|=\dfrac{\sqrt{30}}{5},\overrightarrow{AN}\centerdot \overrightarrow{BN}=-\dfrac{4}{5}$，

∴$\cos (\overrightarrow{AN},\overrightarrow{BN})=\dfrac{\overrightarrow{AN}\centerdot \overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{AN}|\cdot |\overrightarrow{BN}|}=-\dfrac{2}{3}$。

∴所求二面角的余弦值为$-\dfrac{2}{3}$。

（根据二面角的平面角的定义，应用向量方法寻找二面角的平面角比较简单。如果采用求二面角的两个半平面的法向量的方法，总体计算量比较大）