高考数学必做百题第42题（理科2017版）

A. $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}>0$         B. $\sin x-\sin y>0$    

C. ${{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{x}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{y}}<0$    D. $\ln x+\ln y>0$

（2）(2016上海理10)设$a>0,b>0.$若关于$x,y$的方程组$\left\{ \begin{matrix}   ax+y=1  \\   x+by=1  \\\end{matrix} \right.$无解，则$a+b$的取值范围是_________。

解：（1）A：由$x>y>0$，得$\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{y}$，即$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}<0$，∴A不正确；

B：由$x>y>0$及正弦函数$y=\sin x$的单调性，可知$\sin x-\sin y>0$不一定成立；

C：由$0<\dfrac{1}{2}<1$，$x>y>0$，得${{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{x}}<{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{y}}$，

∴${{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{x}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{y}}<0$，故C正确；

D：由$x>y>0$，得$xy>0$，但不一定大于1，

∴$\ln x+\ln y=\ln xy>0$不一定成立。故选C。

考点： 函数性质。

（2）∵$a>0,b>0.$，

方程组消去$y$得$\left( 1-ab \right)x=1-b$，

此方程无解，当且仅当$\left\{ \begin{matrix}   1-ab=0  \\   1-b\ne 0\ \   \\\end{matrix} \right.$，即$\left\{ \begin{matrix}   ab=1  \\   a\ne b  \\\end{matrix} \right.$。

∴$a+b>2\sqrt{ab}=2$。

∴$a+b$的取值范围是$\left( 2,+\infty  \right)$。

考点：方程思想，基本不等式的应用。