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高考数学必做百题第33题（理科2017版）<-->高考数学必做百题第35题（理科2017版）
考点：正余弦定理。
034.（1）在$\vartriangle ABC$中，若$(a^2 ＋b^2 )\sin(A－B)＝(a^2 －b^2 )\sin C$，则$\vartriangle ABC$的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
（2）在$\vartriangle ABC$中,内角$A,B,C$所对的边长分别为$a，b，c，a>b$，且
$a\sin B\cos C+c\sin B\cos A=\dfrac{1}{2}b$，则$\angle B\text{=}$( ) （ ）
A.$\dfrac{\pi }{6}$ B. $\dfrac{\pi }{3}$ C. $\dfrac{2\pi }{3}$ D. $\dfrac{5\pi }{6}$
解：（1）∵$(a^2 ＋b^2 ) \sin(A－B)＝(a^2 －b^2 )\sin C$，
得$b^2 [\sin(A－B)＋\sin C]＝a^2 [\sin C－\sin(A－B)]$，
即$b^2 \sin A\cos B＝a^2 \cos A\sin B$，
即$\sin^2 B\sin A\cos B＝\sin^2 A\cos A\sin B$，
∴$\sin 2B＝\sin 2A$，∵$A，B$是三角形的内角，
∴$0＜2A＜2\pi，0＜2B＜2 \pi$.
∴只可能$2A＝2B$或$2A＝\pi－2B$，
即$A＝B$或$A＋B＝\dfrac{\pi }{2}$。
∴$\vartriangle ABC$为等腰三角形或直角三角形。故选D。
考点：正弦定理，三角函的变换，诱导公式。
（2）∵$a\sin B\cos C+c\sin B\cos A=\dfrac{1}{2}b$，
∴$2Ra\sin B\cos C+2Rc\sin B\cos A=\dfrac{1}{2}b\cdot 2R$，
∴$ab\cdot \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}+bc\cdot \dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\dfrac{1}{2}b\cdot 2R$，
化简得$b=R$。
∴$2R\sin B=R$，即$\sin B=\dfrac{1}{2}$。
∵$a>b$， ∴$B\text{=}\dfrac{\pi }{6}$。 故选A。
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