高考数学必做百题第33题（理科2017版）

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解三角形

033.（1）（2016江苏14）在锐角三角形$ABC$中，若$\sin A=2\sin B\sin C$，则$\tan A\tan B\tan C$的最小值是_______。

（2）在$\Delta ABC$中，内角$A,B,C$的对边分别是a，b，c，若${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\sqrt{3}bc$，$\sin C=2\sqrt{3}\sin B$，

则A＝_______。

解：（1）∵$\sin A=2\sin B\sin C$，

∴$\sin \left( B+C \right)=2\sin B\sin C$，

即$\sin B\cos C+\cos B\sin C=2\sin B\sin C$，

∴$\tan B+\tan C=2\tan B\tan C$。

$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C$

$=\tan A+2\tan B\tan C\ge 2\sqrt{\tan A\cdot 2\tan B\tan C}$

∴$\tan A\tan B\tan C\ge 8$，即最小值为8。

考点：三角恒等变换，三角形正切函数性质应用。

（2）∵$\sin C=2\sqrt{3}\sin B$，

由正弦定理得$c=2\sqrt{3}b$.

又${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\sqrt{3}bc$，由余弦定理

∴$\cos A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\dfrac{-\sqrt{3}bc+{{c}^{2}}}{2bc}$

$\text{=}\dfrac{-\sqrt{3}bc+2\sqrt{3}bc}{2bc}\text{=}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，

又A为三角形的内角，∴$A=\dfrac{\pi }{6},A＝30°$.

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