高考数学必做百题第20题（理科2017版）

（1）当$m=-2$时，求$f(x)$的最大值和最小值；

（2）求实数$m$的取值范围，使$y=f(x)$在区间$[-5,5]$上是单调函数；

（3）在（1）的条件下，设$g(x)=f(x)+a-5$，若函数$g(x)$在区间$[0,4]$上有且仅有一个零点，求实数$a$的取值范围。

解：（1）当$m=-2$时，

$f(x)={{x}^{2}}+2mx+2={{x}^{2}}\text{-}4x+2={{(x-2)}^{2}}-2$，

∵$x\in \left[ -5,5 \right]$，

∴当$x\in \left[ -5,2 \right]$时，函数$f(x)$递减；当$x\in [2,5]$时，函数$f(x)$递增，

∴$f{{(x)}_{\max }}=f(-5)=47$，$f{{(x)}_{\min }}=f(2)=-2$。

（2）∵$f(x)={{(x+m)}^{2}}+2-{{m}^{2}}$，

当$-m\le -5$，即$m\ge 5$时，$f\left( x \right)$在$\left[ -5,5 \right]$递增；

当$-m\ge 5$，即$m\le -5$时，$f\left( x \right)$在$\left[ -5,5 \right]$递减，

∴函数$y=f(x)$在区间$[-5,5]$上是单调函数时，

$m$的范围为$\left( -\infty ,-5 \right]\bigcup \left[ 5,+\infty  \right)$。

（3）∵$g(x)=f(x)+a-5$

∴$g(x)={{x}^{2}}-4x-3+a$$={{(x-2)}^{2}}-7+a$。

函数$g(x)[0,4]$上有且只有一个零点，当且仅当$\Delta =0$，

∴$a=7$。

∴当$a=7$时，函数$g(x)$在区间$[0,4]$上有且仅有一个零点。