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高考数学必做百题第20题(理科2017版)

  2016-09-08 09:35:32  

 020.已知函数$f(x)={{x}^{2}}+2mx+2,x\in [-5,5]$

(1)当$m=-2$时,求$f(x)$的最大值和最小值;
(2)求实数$m$的取值范围,使$y=f(x)$在区间$[-5,5]$上是单调函数;
(3)在(1)的条件下,设$g(x)=f(x)+a-5$,若函数$g(x)$在区间$[0,4]$上有且仅有一个零点,求实数$a$的取值范围。
解:(1)当$m=-2$时,
$f(x)={{x}^{2}}+2mx+2={{x}^{2}}\text{-}4x+2={{(x-2)}^{2}}-2$,
∵$x\in \left[ -5,5 \right]$,
∴当$x\in \left[ -5,2 \right]$时,函数$f(x)$递减;当$x\in [2,5]$时,函数$f(x)$递增,
∴$f{{(x)}_{\max }}=f(-5)=47$,$f{{(x)}_{\min }}=f(2)=-2$。
(2)∵$f(x)={{(x+m)}^{2}}+2-{{m}^{2}}$,
当$-m\le -5$,即$m\ge 5$时,$f\left( x \right)$在$\left[ -5,5 \right]$递增;
当$-m\ge 5$,即$m\le -5$时,$f\left( x \right)$在$\left[ -5,5 \right]$递减,
∴函数$y=f(x)$在区间$[-5,5]$上是单调函数时,
$m$的范围为$\left( -\infty ,-5 \right]\bigcup \left[ 5,+\infty  \right)$。
(3)∵$g(x)=f(x)+a-5$
∴$g(x)={{x}^{2}}-4x-3+a$$={{(x-2)}^{2}}-7+a$。
函数$g(x)[0,4]$上有且只有一个零点,当且仅当$\Delta =0$,
∴$a=7$。
∴当$a=7$时,函数$g(x)$在区间$[0,4]$上有且仅有一个零点。


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