高考数学必做百题第23题（文科2017版）

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023.某公司生产一种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需要增加投入100元。已知总收入满足函数：

$R\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}   400x-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}},0\le x\le 400,  \\   80000,\quad x>400,\begin{matrix}   {} & \quad \quad   \\\end{matrix}  \\\end{matrix} \right.$其中$x$是仪器月产量。

（1）将利润表示为月产量的函数$f\left( x \right)$；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少（总收益=总成本+利润）？

解：（1）∵利润=总收益-总成本，

∴$f\left( x \right)=R\left( x \right)=100x-20000$

即$f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}   300x-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-20000,0\le x\le 400,  \\   60000-100x,\quad x>400,\begin{matrix}   {} & \quad \quad \   \\\end{matrix}  \\\end{matrix} \right.$

（2）①当$0\le x\le 400$时，

$f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}{{\left( x-300 \right)}^{2}}+25000$，

∴当$x=300$时，$f\left( x \right)$的最大值是$25000$。

②当$x>400$时，$f\left( x \right)=60000-100x$是减函数，

∴$f\left( x \right)<f\left( 400 \right)=20000$。

综上所述，当月产量为$300$时，公司所获利润最大，

最大利润为$25000$元。

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