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专题02 常见函数值域或最值的经典求法<-->返回列表
【高考地位】 函数的单调性是函数的一个重要性质,几乎是每年必考的内容,例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式. 【方法点评】 一、函数单调性的判断 方法一 定义法 使用情景:一般函数类型 解题模板: 第一步 取值定大小:设任意$x_1,x_2 \in D $ ,且$x_1 < x_2$ ; 第二步 作差:$f(x_2)-f(x_1)$ ; 第三步 变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等); 第四步 定符号; 第五步 得出结论. 例1 证明函数$f(x)=x+\dfrac{a}{x}(a>0)$在区间$(\sqrt{a},+\infty)$是增函数. 证明:设任意$x_1,x_2$满足$\sqrt{a}<x_1<x_2$, $\begin{align}f(x_2)-f(x_1)&=x_2+\dfrac{a}{x_2}-x_1-\dfrac{a}{x_1}\\ &=\dfrac{x_2 ^2x_1+ax_1-x_1^2x_2-ax_2}{x_1 x_2}\\ &=\dfrac{x_1 x_2(x_2-x_1)-a(x_2-x_1)}{x_1 x_2}\\ &=\dfrac{(x_2-x_1)(x_1x_2-a)}{x_1 x_2}\end{align}$ $\because \sqrt{a}<x_1<x_2$ $\therefore x_2-x_1>0,x_1x_2>a$ $\therefore f(x_2)-f(x_1)>0$ $\therefore$函数$f(x)=x+\dfrac{a}{x}(a>0)$在区间$(\sqrt{a},+\infty)$是增函数. 【点评】本题就是利用定义法判断函数单调性的典型例题,它的解题模板一般分为五步,其中关键的是第三步变形,多利用因式分解等知识.
例2 判断并证明:$f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$在$(-\infty,0)$上的单调性. 证明:设$x_1<x_2<0$, $\begin{align}f(x_2)-f(x_1)&=\dfrac{1}{1+x_2^2}-\dfrac{1}{1+x_1^2}\\ &=\dfrac{x_1^2-x_2^2}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)}\\&=\dfrac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)} \end{align}$ $\because x_1-x_2<0,x_1+x_2<0,1+x_1^2>0,1+x_2^2>0$ $\therefore f(x_2)-f(x_1)>0$ $\therefore f(x_1)<f(x_2)$ $\therefore$函数$f(x)$在区间$(-\infty,0)$是增函数.
【变式训练】已知$f(x)$是定义在R上的奇函数,且当$x<0$时,$f(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$ . (1)求$f(x)$的表达式; (2)判断并证明函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上的单调性. (1)解:
例3 定义在$[-1,1]$上的奇函数$f(x)$,对任意$m,n \neq 0$时,恒有$\dfrac{f(m)+f(n)}{m+n}>0$. (1)比较$f(\dfrac{1}{2})$与$f(\dfrac{1}{3})$ 大小; (2)判断$f(x)$ 在 $[-1,1]$上的单调性,并用定义证明; (3)若$a-8x+1>0$ 对满足不等式$f(x-\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{4}-2x)<0$ 的任意 $x$恒成立,求$a$的取值范围.
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