【高考地位】
函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．
【方法点评】
一、函数单调性的判断
方法一 定义法
使用情景：一般函数类型
解题模板：
第一步  取值定大小：设任意$x_1,x_2 \in D $ ，且$x_1 < x_2$ ；
第二步  作差：$f(x_2)-f(x_1)$ ；
第三步  变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；
第四步  定符号；
第五步  得出结论.
例1  证明函数$f(x)=x+\dfrac{a}{x}(a>0)$在区间$(\sqrt{a},+\infty)$是增函数.
证明：设任意$x_1,x_2$满足$\sqrt{a}<x_1<x_2$,
$\begin{align}f(x_2)-f(x_1)&=x_2+\dfrac{a}{x_2}-x_1-\dfrac{a}{x_1}\\ &=\dfrac{x_2 ^2x_1+ax_1-x_1^2x_2-ax_2}{x_1 x_2}\\ &=\dfrac{x_1 x_2(x_2-x_1)-a(x_2-x_1)}{x_1 x_2}\\ &=\dfrac{(x_2-x_1)(x_1x_2-a)}{x_1 x_2}\end{align}$
$\because \sqrt{a}<x_1<x_2$ 
$\therefore x_2-x_1>0,x_1x_2>a$ 
$\therefore f(x_2)-f(x_1)>0$ 
$\therefore$函数$f(x)=x+\dfrac{a}{x}(a>0)$在区间$(\sqrt{a},+\infty)$是增函数.
【点评】本题就是利用定义法判断函数单调性的典型例题，它的解题模板一般分为五步，其中关键的是第三步变形，多利用因式分解等知识.

例2   判断并证明：$f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$在$(-\infty,0)$上的单调性．
证明：设$x_1<x_2<0$,
$\begin{align}f(x_2)-f(x_1)&=\dfrac{1}{1+x_2^2}-\dfrac{1}{1+x_1^2}\\ &=\dfrac{x_1^2-x_2^2}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)}\\&=\dfrac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)} \end{align}$ 
$\because x_1-x_2<0,x_1+x_2<0,1+x_1^2>0,1+x_2^2>0$ 
$\therefore f(x_2)-f(x_1)>0$ 
$\therefore f(x_1)<f(x_2)$ 
$\therefore$函数$f(x)$在区间$(-\infty,0)$是增函数.

【变式训练】已知$f(x)$是定义在R上的奇函数，且当$x<0$时，$f(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$ .
（1）求$f(x)$的表达式；
（2）判断并证明函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上的单调性.
（1）解：

例3  定义在$[-1,1]$上的奇函数$f(x)$，对任意$m,n \neq 0$时，恒有$\dfrac{f(m)+f(n)}{m+n}>0$.
（1）比较$f(\dfrac{1}{2})$与$f(\dfrac{1}{3})$ 大小；
（2）判断$f(x)$ 在 $[-1,1]$上的单调性，并用定义证明；
（3）若$a-8x+1>0$ 对满足不等式$f(x-\dfrac{1}{2})+f(\dfrac{1}{4}-2x)<0$ 的任意 $x$恒成立，求$a$的取值范围.