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2024年高考数学天津19

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（15分）已知数列

$\{a_{n}\}$ 是公比大于0的等比数列，其前

$n$ 项和为

$S_{n}$ ，若

$a_{1}=1$ ，

$S_{2}=a_{3}-1$ ．
（1）求数列

$\{a_{n}\}$ 前

$n$ 项和

$S_{n}$ ；
（2）设

$b_{n}=\left\{\begin{array}{l}{k,n={a}_{k}}\\ {{b}_{n-1}+2k,{a}_{k} < n < {a}_{k+1}}\end{array}\right.$ ，

$b_{1}=1$ ，其中

$k$ 是大于1的正整数．

$(i)$ 当

$n=a_{k+1}$ 时，求证：

$b_{n-1}\geqslant a_{k}\cdot b_{n}$ ；

$(ii)$ 求

$\sum\limits_{i=1}^{{S}_{n}}{b}_{i}$ ．
答案：（1）

$S_n=2^n-1$ ；
（2）

$(i)$ 证证明见解析；

$(ii)\sum\limits_{i=1}^{S_n}b_i=\dfrac{(3n-1)4^{n}+1}{9}$ ．
分析：（1）根据题目条件结合等比数列的通项公式，可以得到公比

$q$ ，再根据等比数列求和公式即可求得

$S_{n}$ ；
（2）

$(i)$ 根据题意可得

$a_k=2^{k-1}$ ，

$b_{n}=k+1$ ，

$b_{n-1}=k(2^{k}-1)$ ，利用作差法分析即可；

$(ii)$ 根据题意以及等差数列求和公式可得

$\sum\limits_{\;i={2}^{k-1}}^{{2}^{k}-1}b_{i}=\dfrac{1}{9}[(3k-1){4}^{k}-(3k-4){4}^{k-1}]$ ，再用裂项相消法即可求得

$\sum\limits_{i=1}^{{S}_{n}}{b}_{i}$ ．
解：（1）

$a_{1}=1$ ，

$S_{2}=a_{3}-1=a_{1}+a_{2}$ ，
可得

$1+q=q^{2}-1$ ，整理得

$q^{2}-q-2=0$ ，
解得

$q=2$ 或

$q=-1$ ，
因为数列

$\{a_{n}\}$ 的公比大于0，所以

$q=2$ ，
所以

$S_n=\dfrac{1-2^n}{1-2}=2^n-1$ ；
（2）

$(i)$ 证明：由（1）可知

$a_n=2^{n-1}$ ，且

$k\in N^*$ ，

$k\geqslant 2$ ，
当

$n=a_{k+1}=2^{k}\geqslant 4$ 时，则

$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{k}={2}^{k-1} < {2}^{k}-1=n-1}\\ {n-1={a}_{k+1}-1 < {a}_{k+1}}\end{array}\right.$ ，即

$a_{k} < n-1 < a_{k+1}$ ，
可知

$a_k=2^{k-1}$ ，

$b_{n}=k+1$ ，

$b_{n-1}={b}_{{a}_{k}}+(a_{k+1}-a_{k}-1)\cdot 2k=k+2k(2^{k-1}-1)=k(2^{k}-1)$ ，
可得

$b_{n-1}-a_{k}b_{n}=k(2^{k}-1)-(k+1)2^{k-1}=(k-1)2^{k-1}-k\geqslant 2(k-1)-k=k-2\geqslant 0$ ，
当且仅当

$k=2$ 时，等号成立，
所以

$b_{n-1}\geqslant a_{k}\cdot b_{n}$ ；

$(ii)S_n=2^n-1=a_{n+1}-1$ ，
若

$n=1$ ，则

$S_{1}=1$ ，

$b_{1}=1$ ，
若

$n\geqslant 2$ ，则

$a_{k+1}-a_{k}=2^{k-1}$ ，
当

$2^{k-1} < i\leqslant 2^{k}-1$ 时，

$b_{i}-b_{i-1}=2k$ ，可知

$\{b_{i}\}$ 为等差数列，
可得

$\sum\limits_{\;i={2}^{k-1}}^{{2}^{k}-1}b_{i}=k\cdot 2^{k-1}+2k\dfrac{{2}^{k-1}({2}^{k-1}-1)}{2}=k\cdot 4^{k-1}=\dfrac{1}{9}[(3k-1){4}^{k}-(3k-4){4}^{k-1}]$ ，

$\sum\limits_{i=1}^{{S}_{n}}{b}_{i}=1+\dfrac{1}{9}[5\times 4^{2}-2\times 4+8\times 4^{3}-5\times 4^{2}+...+(3n-1)4^{n}-(3n-4)4^{n-1}]=\dfrac{(3n-1){4}^{n}+1}{9}$ ，
且

$n=1$ ，符合上式，综上所述：

$\sum\limits_{i=1}^{S_n}b_i=\dfrac{(3n-1)4^{n}+1}{9}$ ．
点评：本题考查数列的应用综合题，需要熟练运用数列求和的方法，属于难题．

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