|
2024年高考数学天津17<-->2024年高考数学天津19
（15分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中SΔABC=3√32．
（1）求椭圆方程．
（2）过点(0,−32)的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得→TP⋅→TQ⩽0恒成立．若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案：（1）x212+y29=1；
（2）[−3，32]．
分析：（1）结合椭圆的性质，以及三角形的面积公式，即可求解；
（2）根据已知条件，分动直线的斜率存在、不存在讨论，当动直线的斜率不存在，直接结合平面向量的数量积运算，即可求解；动直线的斜率存在时，
设出直线方程，并与椭圆方程联立，再结合平面向量的数量积运算，即可求解．
解：（1）因为椭圆的离心率为e=12，
所以ca=12，即a=2c，其中c为半焦距，
a2=b2+c2，
则b=√3c，
所以A(−2c,0)，B(0,−√3c)，C(0,−√3c2)，
SΔABC=12×2c×√32c=3√32，解得c=√3，
故a=2√3，b=3，
故椭圆方程为x212+y29=1；
（2）①若过点(0,−32) 的动直线的斜率不存在，
则P(0,3)，Q(0,−3)或P(0,−3)，Q(0,3)，此时−3⩽t⩽3，
②若过点(0,−32) 的动直线的所率存在，
则可设该直线方程为：y=kx−32，
设P(x1，y1) Q(x2，y2)，T(0,r)，
{y=kx−323x2+4y2=36，化简整理可得，(3+4k2)x2−12kx−27=0，
故△=144k2+108(3+4k2)=324+576k2>0 x1+x2=12k3+4k2，x1x2=−273+4k2；
→TP=(x1,y1−t)，→TQ=(x2,y2−t)，
故→TP⋅→TQ=x1x2+(y1−t)(y2−t)=x1x2+(ki1−32−t)(kx2−32−t)=(1+k2)x1x2−k(32+t)(x1+x2)+(32+t)2
=(1+k2)×(−273+4k2)−k(32+t)×12k3+4k2+(32+t)2 −27k2−27−18k2−12k2t+3(32+t)2+(3+2t)2k2 3+4k2
=[(3+2t)2−12t−45]k2+3(32+t)2−273+4k2，
→TP⋅→TQ⩽0 恒成立，故{3(32+t)2−27⩽0(3+2t)2−12t−45⩽0，解得−3⩽t⩽32，
若→TP⋅→TQ⩽0恒成立．
结合①②可知，−3⩽t⩽32．
故这个T点纵坐标的取值范围为[−3，32]．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
2024年高考数学天津17<-->2024年高考数学天津19
全网搜索"2024年高考数学天津18"相关
|
