2024年高考数学天津12

（5分）

$(x-1)^{2}+y^{2}=25$ 的圆心与抛物线

$y^{2}=2px(p > 0)$ 的焦点

$F$ 重合，两曲线与第一象限交于点

$P$ ，则原点到直线

$PF$ 的距离为 _____．
答案：

$\dfrac{4}{5}$ ．
分析：推导出

$F(1,0)$ ，从而

$p=2$ ，进而

$y^{2}=4x$ ，联立

$\left\{\begin{array}{l}{(x-1)^{2}+{y}^{2}=25}\\ {{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$ ，得

$P(4,4)$ ，求出直线

$PF$ 的方程为

$4x-3y-4=0$ ，由此能求出原点到直线

$PF$ 的距离．
解：

$\because (x-1)^{2}+y^{2}=25$ 的圆心与抛物线

$y^{2}=2px(p > 0)$ 的焦点

$F$ 重合，

$\therefore F(1,0)$ ，

$\therefore p=2$ ，

$\therefore y^{2}=4x$ ，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{(x-1)^{2}+{y}^{2}=25}\\ {{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$ ，得

$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\ {y=4}\end{array}\right.$ 或

$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\ {y=-4}\end{array}\right.$ ，

$\because$ 两曲线与第一象限交于点

$P$ ，

$\therefore P(4,4)$ ，

$\therefore$ 直线

$PF$ 的方程为

$\dfrac{y-4}{x-4}=\dfrac{0-4}{1-4}=\dfrac{4}{3}$ ，即

$4x-3y-4=0$ ，

$\therefore$ 原点到直线

$PF$ 的距离为

$d=\dfrac{\vert -4\vert }{\sqrt{{4}^{2}+(-3)^{2}}}=\dfrac{4}{5}$ ．
故答案为：

$\dfrac{4}{5}$ ．
点评：本题考查圆心坐标、抛物线方程、直线方程、点到直线距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

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