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2024年高考数学天津3<-->2024年高考数学天津5
（5分）下列函数是偶函数的是$($ $)$
A．$\dfrac{{e}^{x}-{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$ B．$\dfrac{\cos x+{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$
C．$\dfrac{{e}^{x}-x}{x+1}$ D．$\dfrac{\sin x+4x}{{e}^{\vert x\vert }}$
答案：$B$
分析：由已知结合基本初等函数的奇偶性检验各选项即可判断．
解：$A$，$f(x)=\dfrac{{e}^{x}-{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，定义域为$R$，
$f$（1）$=\dfrac{e-1}{2}$，$f(-1)=\dfrac{\dfrac{1}{e}-1}{2}$，则$f(-1)\ne f$（1），$A$不符合题意；
$B$，$f(x)=\dfrac{\cos x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，定义域为$R$，$f(-x)=\dfrac{\cos (-x)+(-x)^{2}}{1+(-x)^{2}}=\dfrac{\cos x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}=f(x)$，即$f(x)$为偶函数，符合题意；
$C$，由题意得，$\{x\vert x\ne -1\}$，定义域关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不符合题意；
$D$，函数定义域为$R$，
$f(-x)=\dfrac{\sin (-x)+4(-x)}{{e}^{\vert -x\vert }}=\dfrac{-\sin x-4x}{{e}^{\vert x\vert }}=-f(x)$，即$f(x)$为奇函数，不符合题意．
故选：$B$．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
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