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2024年高考数学上海19<-->2024年高考数学上海21
（18分）已知双曲线$\Gamma :x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，$(b > 0)$，左右顶点分别为$A_{1}$，$A_{2}$，过点$M(-2,0)$的直线$l$交双曲线$\Gamma$于$P$、$Q$两点，且点$P$在第一象限．
（1）当离心率$e=2$时，求$b$的值；
（2）当$b=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$，△$MA_{2}P$为等腰三角形时，求点$P$的坐标；
（3）连接$OQ$并延长，交双曲线$\Gamma$于点$R$，若$\overrightarrow{A_1R}\cdot \overrightarrow{A_2P}=1$，求$b$的取值范围．
答案：（1）$b=\sqrt{3}$；
（2）$P(2,2\sqrt{2})$；
（3）$b\in (0,\sqrt{3})\bigcup (\sqrt{3},\dfrac{\sqrt{30}}{3}]$．
分析：（1）由题意可得$\dfrac{c}{a}=2$，$a=1$，可得$c=2$，由$a^{2}+b^{2}=c^{2}$求解即可；
（2）由题意可得$MA_{2}=PA_{2}$，$P(x_{0}$，$y_{0})$，$x_{0} > 0$，$y_{0} > 0$，则可得$(x_0-1)^2+y_0^2=9$，再由$x_0^2-\dfrac{y_0^2}{\dfrac{8}{3}}=1$，求解即可；
（3）设$P(x_{1}$，$y_{1})$ $Q(x_{2}$，$y_{2})$ 则$R(-x_{2}$，$-y_{2})$，设直线$l:x=my-2(m > \dfrac{1}{b})$，联立直线与双曲线方程，再结合韦达定理可得$y_{1}+y_{2}=\dfrac{4{b}^{2}m}{{b}^{2}{m}^{2}-1}$，$y_{1}y_{2}=\dfrac{3{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}-1}$，又由$\overrightarrow{A_1R}\cdot \overrightarrow{A_2P}=1$，得$(-x_{2}+1)(x_{1}-1)-y_{1}y_{2}=1$，即有$(m^{2}+1)y_{1}y_{2}-3m(y_{1}+y_{2})+10=0$，可得$m^2=\dfrac{10-3b^2}{b^2} > \dfrac{1}{b^2}$，即可得答案．
解：（1）因为$e=2$，即$\dfrac{c}{a}=2$，
所以$\dfrac{c^2}{a^2}=4$，
又因为$a^{2}=1$，
所以$c^{2}=4$，
又因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
所以$b^{2}=3$，
所以$b=\sqrt{3}$（负舍）；
（2）因为△$MA_{2}P$为等腰三角形，
①若$A_{1}A_{2}$为底，则点$P$在线段$MA_{2}$的中垂线，即$x=-\dfrac{1}{2}$上，与$P$双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去；
②若$A_{2}P$为底，则$MP=MA_{2}$，与$MP > MA_{2}$矛盾，故舍去；
③若$MP$为底，则$MA_{2}=PA_{2}$，
设$P(x_{0}$，$y_{0})$，$x_{0} > 0$，$y_{0} > 0$，
则$\sqrt{(x_0-1)^2+(y_0-0)^2}=3$，
即$(x_0-1)^2+y_0^2=9$，
又因为$x_0^2-\dfrac{y_0^2}{\dfrac{8}{3}}=1$，
得$(x_0-1)^2+(x_0-1)^2\times \dfrac{8}{3}=9$，
得$11x_0^2-6x_0-32=0$，
解得$x_0=2,y_0=2\sqrt{2}$，
即$P(2,2\sqrt{2})$；
（3）由$A_{1}(-1,0)$，设$P(x_{1}$，$y_{1})$，$Q(x_{2}$，$y_{2})$，
则$R(-x_{2}$，$-y_{2})$，设直线$l:x=my-2(m > \dfrac{1}{b})$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\ {{x}^{2}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\ {m > \dfrac{1}{b}}\end{array}\right.$，得$(b^{2}m^{2}-1)y^{2}-4b^{2}my+3b^{2}=0$，
则$y_{1}+y_{2}=\dfrac{4{b}^{2}m}{{b}^{2}{m}^{2}-1}$，$y_{1}y_{2}=\dfrac{3{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}-1}$，
所以$\overrightarrow{{A}_{1}R}=(-x_{2}+1$，$-y_{2})$，$\overrightarrow{{A}_{2}P}=(x_{1}-1$，$y_{1})$，
又因为$\overrightarrow{A_1R}\cdot \overrightarrow{A_2P}=1$，
得$(-x_{2}+1)(x_{1}-1)-y_{1}y_{2}=1$，
则$(x_{2}-1)(x_{1}-1)+y_{1}y_{2}=-1$，
即$(my_{2}-3)(my_{1}-3)+y_{1}y_{2}=-1$，
化简后可得到$(m^{2}+1)y_{1}y_{2}-3m(y_{1}+y_{2})+10=0$，
再由韦达定理得$3b^{2}(m^{2}+1)-12m^{2}b^{2}+10(b^{2}m^{2}-1)=0$，
化简得$b^{2}m^{2}+3b^{2}-10=0$，
所以$m^2=\dfrac{10}{b^2}-3$，代入$b^{2}m^{2}-1\ne 0$，得$b^{2}=10-3b^{2}\ne 1$，所以$b^{2}\ne 3$，
且$m^2=\dfrac{10}{b^2}-3\geqslant 0$，解得$b^2\leqslant \dfrac{10}{3}$，
又因为$b > 0$，则$0 < b^2\leqslant \dfrac{10}{3}$，
综上，$b^2\in (0,3)\bigcup (3,\dfrac{10}{3}]$，
$b\in (0,\sqrt{3})\bigcup (\sqrt{3},\dfrac{\sqrt{30}}{3}]$．
点评：本题考查了双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系及韦达定理的应用，属于中档题．
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