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2023年高考数学新高考Ⅰ-10<-->2023年高考数学新高考Ⅰ-12
（5分）已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则( )
A．f(0)=0 B．f（1）=0
C．f(x)是偶函数 D．x=0为f(x)的极小值点
答案：ABC
分析：在已知等式中，取x=y=0判断A；取x=y=1判断B；求出f(−1)，再取y=−1判断C；取满足等式的特殊函数判断D．
解：由f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，
取x=y=0，可得f(0)=0，故A正确；
取x=y=1，可得f（1）=2f（1），即f（1）=0，故B正确；
取x=y=−1，得f（1）=2f(−1)，即f(−1)=12f（1）=0，
取y=−1，得f(−x)=f(x)，可得f(x)是偶函数，故C正确；
由上可知，f(−1)=f(0)=f（1）=0，而函数解析式不确定，
不妨取f(x)=0，满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，
常数函数f(x)=0无极值，故D错误．
故选：ABC．
点评：本题考查抽象函数的应用，取特值是关键，是中档题．
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