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2023年高考数学乙卷-文17<-->2023年高考数学乙卷-文19
（12分）记$S_{n}$为等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{2}=11$，$S_{10}=40$．
（1）求$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）求数列$\{\vert a_{n}\vert \}$的前$n$项和$T_{n}$．
答案：（1）$a_{n}=-2n+15(n\in N^{\cdot })$．
（2）当$1\leqslant n\leqslant 7$时，$T_{n}=-n^{2}+14n$，
当$n\geqslant 8$时，$T_{n}=n^{2}-14n+98$．
分析：（1）建立方程组求出首项和公差即可．
（2）求出$\vert a_{n}\vert$的表达式，讨论$n$的取值，然后进行求解即可．
解：（1）在等差数列中，$\because a_{2}=11$，$S_{10}=40$．
$\therefore$$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=11}\\ {10{a}_{1}+\dfrac{10\times 9}{2}d=40}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=11}\\ {{a}_{1}+\dfrac{9}{2}d=4}\end{array}\right.$，
得$a_{1}=13$，$d=-2$，
则$a_{n}=13-2(n-1)=-2n+15(n\in N^{\cdot })$．
（2）$\vert a_{n}\vert =\vert -2n+15\vert =\left\{\begin{array}{l}{-2n+15,}&{1\leqslant n\leqslant 7}\\ {2n-15,}&{n\geqslant 8}\end{array}\right.$，
即$1\leqslant n\leqslant 7$时，$\vert a_{n}\vert =a_{n}$，
当$n\geqslant 8$时，$\vert a_{n}\vert =-a_{n}$，
当$1\leqslant n\leqslant 7$时，数列$\{\vert a_{n}\vert \}$的前$n$项和$T_{n}=a_{1}+\dotsb +a_{n}=13n+\dfrac{n(n-1)}{2}\times (-2)=-n^{2}+14n$，
当$n\geqslant 8$时，数列$\{\vert a_{n}\vert \}$的前$n$项和$T_{n}=a_{1}+\dotsb +a_{7}-\dotsb -a_{n}=-S_{n}+2(a_{1}+\dotsb +a_{7})=-[13n+\dfrac{n(n-1)}{2}\times (-2)]+2\times \dfrac{13+1}{2}\times 7=n^{2}-14n+98$．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式和数列求和，建立方程组求出首项和公差是解决本题的关键，是中档题．
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