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2023年高考数学甲卷-文16<-->2023年高考数学甲卷-文18
（12分）记$\Delta ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\dfrac{{b^2}+{c^2}-{a^2}}{\cos A}=2$．
（1）求$bc$；
（2）若$\dfrac{a\cos B-b\cos A}{a\cos B+b\cos A}-\dfrac{b}{c}=1$，求$\Delta ABC$面积．
答案：（1）$bc=1$；
（2）$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$．
分析：（1）由已知结合余弦定理进行化简即可求解$bc$；
（2）先利用正弦定理及和差角公式进行化简可求$\cos A$，进而可求$A$，然后结合三角形面积公式可求．
解：（1）因为$\dfrac{{b^2}+{c^2}-{a^2}}{\cos A}=\dfrac{2bc\cos A}{\cos A}=2bc=2$，
所以$bc=1$；
（2）$\dfrac{a\cos B-b\cos A}{a\cos B+b\cos A}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{\sin A\cos B-\sin B\cos A}{\sin A\cos B+\sin B\cos A}-\dfrac{\sin B}{\sin C}=1$，
所以$\dfrac{\sin (A-B)}{\sin (A+B)}-\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{\sin (A-B)-\sin B}{\sin C}=1$，
所以$\sin (A-B)-\sin B=\sin C=\sin (A+B)$，
所以$\sin A\cos B-\sin B\cos A-\sin B=\sin A\cos B+\sin B\cos A$，
即$\cos A=-\dfrac{1}{2}$，
由$A$为三角形内角得$A=\dfrac{2\pi }{3}$，
$\Delta ABC$面积$S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}\times 1\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$．
点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题．
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