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2023年高考数学甲卷-文9

(5分)已知双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$的离心率为$\sqrt{5}$,$C$的一条渐近线与圆$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$交于$A$,$B$两点,则$\vert AB\vert =($  $)$
A.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$              B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$              C.$\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$              D.$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
答案:$D$
分析:利用双曲线的离心率,求解渐近线方程,然后求解圆的圆心到直线的距离,转化求解$\vert AB\vert$即可.
解:双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$的离心率为$\sqrt{5}$,
可得$c=\sqrt{5}a$,所以$b=2a$,
所以双曲线的渐近线方程为:$y=\pm 2x$,
一条渐近线与圆$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$交于$A$,$B$两点,圆的圆心$(2,3)$,半径为1,
圆的圆心到直线$y=2x$的距离为:$\dfrac{\vert 4-3\vert }{\sqrt{1+4}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$,
所以$\vert AB\vert =2\sqrt{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$.
故选:$D$.
点评:本题考查双曲线的简单性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,是中档题.
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