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2022年高考数学浙江20<-->2022年高考数学浙江22
（15分）如图，已知椭圆x212+y2=1．设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q(0,12)在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y=−12x+3于C，D两点．
（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求|CD|的最小值．
分析：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M(x,y)，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解；
（Ⅱ）设直线AB方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而表示出|x1−x2|，再分别联立直线AP，直线BP与直线y=−12x+3，得到C，D两点的坐标，由此可表示出|CD|，再转化求解即可．
解：（Ⅰ）设椭圆上任意一点M(x,y)，则|PM|2=x2+(y−1)2=12−12y2+y2−2y+1=−11y2−2y+13，y∈[−1，1]，
而函数z=−11y2−2y+13的对称轴为y=−111∈[−1,1]，则其最大值为−11×(−111)2+2×111+13=14411，
∴|PM|max=√14411=12√1111，即点P到椭圆上点的距离的最大值为12√1111；
（Ⅱ）设直线AB:y=kx+12,A(x1,y1),B(x2,y2)，
联立直线AB与椭圆方程有{y=kx+12x212+y2=1，消去y并整理可得，(12k2+1)x2+12kx−9=0，
由韦达定理可得，x1+x2=−12k12k2+1,x1x2=−912k2+1，
∴|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(−12k12k2+1)2+3612k2+1=6√16k2+112k2+1，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线AP:y=y1−1x1x+1，直线BP:y=y2−1x2x+1，
联立{y=y1−1x1x+1y=−12x+3以及{y=y2−1x2x+1y=−12x+3，
可得x3=4x1(2k+1)x1−1,x4=4x2(2k+1)x2−1，
∴由弦长公式可得|CD|=√1+(−12)2|x3−x4|=√52|4x1(2k+1)x1−1−4x2(2k+1)x2−1|
=2√5|x1−x2[(2k+1)x1−1][(2k+1)x2−1]|=2√5|x1−x2(2k+1)2x1x2−(2k+1)(x1+x2)+1|
=3√52|√16k2+13k+1|=6√55⋅√16k2+1⋅√916+1|3k+1|⩾6√55×√(4k×34+1×1)2|3k+1|=6√55，
当且仅当k=316时等号成立，
∴|CD|的最小值为6√55．
点评：本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．
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