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2022年高考数学新高考Ⅱ-20

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（12分）如图，

$PO$ 是三棱锥

$P-ABC$ 的高，

$PA=PB$ ，

$AB\bot AC$ ，

$E$ 为

$PB$ 的中点．
（1）证明：

$OE//$ 平面

$PAC$ ；
（2）若

$\angle ABO=\angle CBO=30^\circ$ ，

$PO=3$ ，

$PA=5$ ，求二面角

$C-AE-B$ 的正弦值．

分析：（1）连接

$OA$ ，

$OB$ ，可证得

$OA=OB$ ，延长

$BO$ 交

$AC$ 于点

$F$ ，可证得

$OE//PF$ ，由此得证；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面

$ACE$ 及平面

$ABE$ 的法向量，利用向量的夹角公式得解．
解：（1）证明：连接

$OA$ ，

$OB$ ，依题意，

$OP\bot$ 平面

$ABC$ ，
又

$OA\subset$ 平面

$ABC$ ，

$OB\subset$ 平面

$ABC$ ，则

$OP\bot OA$ ，

$OP\bot OB$ ，

$\therefore \angle POA=\angle POB=90^\circ$ ，
又

$PA=PB$ ，

$OP=OP$ ，则

$\Delta POA\cong \Delta POB$ ，

$\therefore OA=OB$ ，
延长

$BO$ 交

$AC$ 于点

$F$ ，又

$AB\bot AC$ ，则在

$\rm{Rt}\Delta ABF$ 中，

$O$ 为

$BF$ 中点，连接

$PF$ ，
在

$\Delta PBF$ 中，

$O$ ，

$E$ 分别为

$BF$ ，

$BP$ 的中点，则

$OE//PF$ ，

$\because OE\not\subset$ 平面

$PAC$ ，

$PF\subset$ 平面

$PAC$ ，

$\therefore OE//$ 平面

$PAC$ ；
（2）过点

$A$ 作

$AM//OP$ ，以

$AB$ ，

$AC$ ，

$AM$ 分别为

$x$ 轴，

$y$ 轴，

$z$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由于

$PO=3$ ，

$PA=5$ ，由（1）知

$OA=OB=4$ ，
又

$\angle ABO=\angle CBO=30^\circ$ ，则

$AB=4\sqrt{3}$ ，

$\therefore$

$P(2\sqrt{3},2,3),B(4\sqrt{3},0,0),A(0,0,0),E(3\sqrt{3},1,\dfrac{3}{2})$ ，
又

$AC=AB\tan 60^\circ =12$ ，即

$C(0$ ，12，

$0)$ ，
设平面

$AEB$ 的一个法向量为

$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$ ，又

$\overrightarrow{AB}=(4\sqrt{3},0,0),\overrightarrow{AE}=(3\sqrt{3},1,\dfrac{3}{2})$ ，
则

$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}=4\sqrt{3}x=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AE}=3\sqrt{3}x+y+\dfrac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$ ，则可取

$\overrightarrow{n}=(0,3,-2)$ ，
设平面

$AEC$ 的一个法向量为

$\overrightarrow{m}=(a,b,c)$ ，又

$\overrightarrow{AC}=(0,12,0),\overrightarrow{AE}=(3\sqrt{3},1,\dfrac{3}{2})$ ，
则

$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{AC}=12b=0}\\ {\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{AE}=3\sqrt{3}a+b+\dfrac{3}{2}c=0}\end{array}\right.$ ，则可取

$\overrightarrow{m}=(-\sqrt{3},0,6)$ ，
设锐二面角

$C-AE-B$ 的平面角为

$\theta$ ，则

$\cos \theta =\vert \cos < \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} > \vert =\vert \dfrac{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}}{\vert \overrightarrow{m}\vert \vert \overrightarrow{n}\vert }\vert =\dfrac{4\sqrt{3}}{13}$ ，

$\therefore$

$\sin \theta =\sqrt{1-co{s}^{2}\theta }=\dfrac{11}{13}$ ，即二面角

$C-AE-B$ 正弦值为

$\dfrac{11}{13}$ ．

点评：本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．

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