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2022年高考数学新高考Ⅱ-19<-->2022年高考数学新高考Ⅱ-21
（12分）如图，$PO$是三棱锥$P-ABC$的高，$PA=PB$，$AB\bot AC$，$E$为$PB$的中点．
（1）证明：$OE//$平面$PAC$；
（2）若$\angle ABO=\angle CBO=30^\circ$，$PO=3$，$PA=5$，求二面角$C-AE-B$的正弦值．
分析：（1）连接$OA$，$OB$，可证得$OA=OB$，延长$BO$交$AC$于点$F$，可证得$OE//PF$，由此得证；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面$ACE$及平面$ABE$的法向量，利用向量的夹角公式得解．
解：（1）证明：连接$OA$，$OB$，依题意，$OP\bot$平面$ABC$，
又$OA\subset$平面$ABC$，$OB\subset$平面$ABC$，则$OP\bot OA$，$OP\bot OB$，
$\therefore \angle POA=\angle POB=90^\circ$，
又$PA=PB$，$OP=OP$，则$\Delta POA\cong \Delta POB$，
$\therefore OA=OB$，
延长$BO$交$AC$于点$F$，又$AB\bot AC$，则在$\rm{Rt}\Delta ABF$中，$O$为$BF$中点，连接$PF$，
在$\Delta PBF$中，$O$，$E$分别为$BF$，$BP$的中点，则$OE//PF$，
$\because OE\not\subset$平面$PAC$，$PF\subset$平面$PAC$，
$\therefore OE//$平面$PAC$；
（2）过点$A$作$AM//OP$，以$AB$，$AC$，$AM$分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于$PO=3$，$PA=5$，由（1）知$OA=OB=4$，
又$\angle ABO=\angle CBO=30^\circ$，则$AB=4\sqrt{3}$，
$\therefore$$P(2\sqrt{3},2,3),B(4\sqrt{3},0,0),A(0,0,0),E(3\sqrt{3},1,\dfrac{3}{2})$，
又$AC=AB\tan 60^\circ =12$，即$C(0$，12，$0)$，
设平面$AEB$的一个法向量为$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，又$\overrightarrow{AB}=(4\sqrt{3},0,0),\overrightarrow{AE}=(3\sqrt{3},1,\dfrac{3}{2})$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}=4\sqrt{3}x=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AE}=3\sqrt{3}x+y+\dfrac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，则可取$\overrightarrow{n}=(0,3,-2)$，
设平面$AEC$的一个法向量为$\overrightarrow{m}=(a,b,c)$，又$\overrightarrow{AC}=(0,12,0),\overrightarrow{AE}=(3\sqrt{3},1,\dfrac{3}{2})$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{AC}=12b=0}\\ {\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{AE}=3\sqrt{3}a+b+\dfrac{3}{2}c=0}\end{array}\right.$，则可取$\overrightarrow{m}=(-\sqrt{3},0,6)$，
设锐二面角$C-AE-B$的平面角为$\theta$，则$\cos \theta =\vert \cos < \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} > \vert =\vert \dfrac{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}}{\vert \overrightarrow{m}\vert \vert \overrightarrow{n}\vert }\vert =\dfrac{4\sqrt{3}}{13}$，
$\therefore$$\sin \theta =\sqrt{1-co{s}^{2}\theta }=\dfrac{11}{13}$，即二面角$C-AE-B$正弦值为$\dfrac{11}{13}$．
点评：本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
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