2022年高考数学新高考Ⅱ-6

（5分）若

$\sin (\alpha +\beta )+\cos (\alpha +\beta )=2\sqrt{2}\cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\sin \beta$ ，则(　　)
A．

$\tan (\alpha -\beta )=1$ B．

$\tan (\alpha +\beta )=1$ C．

$\tan (\alpha -\beta )=-1$ D．

$\tan (\alpha +\beta )=-1$
分析：解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求

$\alpha -\beta$ ，进而可求．
解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解．
解：解法一：因为

$\sin (\alpha +\beta )+\cos (\alpha +\beta )=2\sqrt{2}\cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\sin \beta$ ，
所以

$\sqrt{2}\sin (\alpha +\beta +\dfrac{\pi }{4})=2\sqrt{2}\cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\sin \beta$ ，
即

$\sin (\alpha +\beta +\dfrac{\pi }{4})=2\cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\sin \beta$ ，
所以

$\sin (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\cos \beta +\sin \beta \cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})=2\cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\sin \beta$ ，
所以

$\sin (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\cos \beta -\sin \beta \cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})=0$ ，
所以

$\sin (\alpha +\dfrac{\pi }{4}-\beta )=0$ ，
所以

$\alpha +\dfrac{\pi }{4}-\beta =k\pi$ ，

$k\in Z$ ，
所以

$\alpha -\beta =k\pi -\dfrac{\pi }{4}$ ，
所以

$\tan (\alpha -\beta )=-1$ ．
解法二：由题意可得，

$\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =2(\cos \alpha -\sin \alpha )\sin \beta$ ，
即

$\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \alpha +\sin \alpha \sin \beta =0$ ，
所以

$\sin (\alpha -\beta )+\cos (\alpha -\beta )=0$ ，
故

$\tan (\alpha -\beta )=-1$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．

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三角函数

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