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2022年高考数学新高考Ⅱ-5<-->2022年高考数学新高考Ⅱ-7
（5分）若$\sin (\alpha +\beta )+\cos (\alpha +\beta )=2\sqrt{2}\cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\sin \beta$，则( )
A．$\tan (\alpha -\beta )=1$ B．$\tan (\alpha +\beta )=1$ C．$\tan (\alpha -\beta )=-1$ D．$\tan (\alpha +\beta )=-1$
分析：解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求$\alpha -\beta$，进而可求．
解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解．
解：解法一：因为$\sin (\alpha +\beta )+\cos (\alpha +\beta )=2\sqrt{2}\cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\sin \beta$，
所以$\sqrt{2}\sin (\alpha +\beta +\dfrac{\pi }{4})=2\sqrt{2}\cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\sin \beta$，
即$\sin (\alpha +\beta +\dfrac{\pi }{4})=2\cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\sin \beta$，
所以$\sin (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\cos \beta +\sin \beta \cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})=2\cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\sin \beta$，
所以$\sin (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\cos \beta -\sin \beta \cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})=0$，
所以$\sin (\alpha +\dfrac{\pi }{4}-\beta )=0$，
所以$\alpha +\dfrac{\pi }{4}-\beta =k\pi$，$k\in Z$，
所以$\alpha -\beta =k\pi -\dfrac{\pi }{4}$，
所以$\tan (\alpha -\beta )=-1$．
解法二：由题意可得，$\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =2(\cos \alpha -\sin \alpha )\sin \beta$，
即$\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \alpha +\sin \alpha \sin \beta =0$，
所以$\sin (\alpha -\beta )+\cos (\alpha -\beta )=0$，
故$\tan (\alpha -\beta )=-1$．
故选：$C$．
点评：本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
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