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2022年高考数学新高考Ⅰ-8

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（5分）已知正四棱锥的侧棱长为

$l$ ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为

$36\pi$ ，且

$3\leqslant l\leqslant 3\sqrt{3}$ ，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)
A．

$[18$ ，

$\dfrac{81}{4}]$ B．

$[\dfrac{27}{4}$ ，

$\dfrac{81}{4}]$ C．

$[\dfrac{27}{4}$ ，

$\dfrac{64}{3}]$ D．

$[18$ ，

$27]$
分析：画出图形，由题意可知求出球的半径

$R=3$ ，设正四棱锥的底面边长为

$a$ ，高为

$h$ ，由勾股定理可得

${l}^{2}=\dfrac{1}{2}{a}^{2}+{h}^{2}$ ，又

${R}^{2}=(h-3)^{2}+(\dfrac{\sqrt{2}a}{2})^{2}$ ，所以

$l^{2}=6h$ ，由

$l$ 的取值范围求出

$h$ 的取值范围，又因为

$a^{2}=12h-2h^{2}$ ，所以该正四棱锥体积

$V(h)=-\dfrac{2}{3}{h}^{3}+4{h}^{2}$ ，利用导数即可求出

$V(h)$ 的取值范围．
解：

如图所示，正四棱锥

$P-ABCD$ 各顶点都在同一球面上，连接

$AC$ 与

$BD$ 交于点

$E$ ，连接

$PE$ ，则球心

$O$ 在直线

$PE$ 上，连接

$OA$ ，
设正四棱锥的底面边长为

$a$ ，高为

$h$ ，
在

$\rm{Rt}\Delta PAE$ 中，

$PA^{2}=AE^{2}+PE^{2}$ ，即

${l}^{2}=(\dfrac{\sqrt{2}a}{2})^{2}+{h}^{2}=\dfrac{1}{2}{a}^{2}+{h}^{2}$ ，

$\because$ 球

$O$ 的体积为

$36\pi$ ，

$\therefore$ 球

$O$ 的半径

$R=3$ ，
在

$\rm{Rt}\Delta OAE$ 中，

$OA^{2}=OE^{2}+AE^{2}$ ，即

${R}^{2}=(h-3)^{2}+(\dfrac{\sqrt{2}a}{2})^{2}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{2}{a}^{2}+{h}^{2}-6h=0$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{2}{a}^{2}+{h}^{2}=6h$ ，

$\therefore l^{2}=6h$ ，又

$\because 3\leqslant l\leqslant 3\sqrt{3}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{3}{2}\leqslant h\leqslant \dfrac{9}{2}$ ，

$\therefore$ 该正四棱锥体积

$V(h)=\dfrac{1}{3}{a}^{2}h=\dfrac{1}{3}(12h-2{h}^{2})h=-\dfrac{2}{3}{h}^{3}+4{h}^{2}$ ，

$\because V'(h)=-2h^{2}+8h=2h(4-h)$ ，

$\therefore$ 当

$\dfrac{3}{2}\leqslant h < 4$ 时，

$V'(h) > 0$ ，

$V(h)$ 单调递增；当

$4 < h\leqslant \dfrac{9}{2}$ 时，

$V'(h) < 0$ ，

$V(h)$ 单调递减，

$\therefore V(h)_{max}=V$ （4）

$=\dfrac{64}{3}$ ，
又

$\because V(\dfrac{3}{2})=\dfrac{27}{4}$ ，

$V(\dfrac{9}{2})=\dfrac{81}{4}$ ，且

$\dfrac{27}{4} < \dfrac{81}{4}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{27}{4}\leqslant V(h)\leqslant \dfrac{64}{3}$ ，
即该正四棱锥体积的取值范围是

$[\dfrac{27}{4}$ ，

$\dfrac{64}{3}]$ ，
故选：

$C$ ．

点评：本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．

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