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2022年高考数学新高考Ⅰ-5<-->2022年高考数学新高考Ⅰ-7
（5分）记函数$f(x)=\sin (\omega x+\dfrac{\pi }{4})+b(\omega > 0)$的最小正周期为$T$．若$\dfrac{2\pi }{3} < T < \pi$，且$y=f(x)$的图像关于点$(\dfrac{3\pi }{2}$，$2)$中心对称，则$f(\dfrac{\pi }{2})=($ )
A．1 B．$\dfrac{3}{2}$ C．$\dfrac{5}{2}$ D．3
分析：由周期范围求得$\omega$的范围，由对称中心求解$\omega$与$b$值，可得函数解析式，则$f(\dfrac{\pi }{2})$可求．
解：函数$f(x)=\sin (\omega x+\dfrac{\pi }{4})+b(\omega > 0)$的最小正周期为$T$，
则$T=\dfrac{2\pi }{\omega }$，由$\dfrac{2\pi }{3} < T < \pi$，得$\dfrac{2\pi }{3} < \dfrac{2\pi }{\omega } < \pi$，$\therefore 2 < \omega < 3$，
$\because y=f(x)$的图像关于点$(\dfrac{3\pi }{2}$，$2)$中心对称，$\therefore b=2$，
且$\sin (\dfrac{3\pi }{2}\omega +\dfrac{\pi }{4})=0$，则$\dfrac{3\pi }{2}\omega +\dfrac{\pi }{4}=k\pi$，$k\in Z$．
$\therefore$$\omega =\dfrac{2}{3}(k-\dfrac{1}{4})$，$k\in Z$，取$k=4$，可得$\omega =\dfrac{5}{2}$．
$\therefore f(x)=\sin (\dfrac{5}{2}x+\dfrac{\pi }{4})+2$，则$f(\dfrac{\pi }{2})=\sin (\dfrac{5}{2}\times \dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{4})+2=-1+2=1$．
故选：$A$．
点评：本题考查$y=A\sin (\omega x+\varphi )$型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
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