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2022年高考数学天津20

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（15分）已知

$a$ ，

$b\in R$ ，函数

$f(x)=e^{x}-a\sin x$ ，

$g(x)=b\sqrt{x}$ ．
（1）求函数

$y=f(x)$ 在

$(0$ ，

$f(0))$ 处的切线方程；
（2）若

$y=f(x)$ 和

$y=g(x)$ 有公共点．
（ⅰ）当

$a=0$ 时，求

$b$ 的取值范围；
（ⅱ）求证：

$a^{2}+b^{2} > e$ ．
分析：（1）利用导数的几何意义及直线的斜截式方程即可求解；
（2）（ⅰ）将

$y=f(x)$ 和

$y=g(x)$ 有公共点转化为

$b=\dfrac{{e}^{x}}{\sqrt{x}}$ 在

$(0,+\infty )$ 上有解，再构造函数

$h(x)=\dfrac{{e}^{x}}{\sqrt{x}}$ ，

$(x > 0)$ ，接着利用导数求出

$h(x)$ 的值域，从而得

$b$ 的取值范围；
（ⅱ）令交点的横坐标为

$x_{0}$ ，则

${e}^{{x}_{0}}=a\sin {x}_{0}+b\sqrt{{x}_{0}}$ ，再利用柯西不等式及结论：

$x > 0$ 时，

$x > \sin x$ ，

$e^{x} > ex$ ，

$e^{x} > x+1$ 放缩即可证明．
解：（1）

$\because f(x)=e^{x}-a\sin x$ ，

$\therefore f\prime (x)=e^{x}-a\cos x$ ，

$\therefore f(0)=1$ ，

$f\prime (0)=1-a$ ，

$\therefore$ 函数

$y=f(x)$ 在

$(0,1)$ 处的切线方程为

$y=(1-a)x+1$ ；
（2）（ⅰ）

$\because a=0$ ，

$\therefore f(x)=e^{x}$ ，又

$y=f(x)$ 和

$y=g(x)$ 有公共点，

$\therefore$ 方程

$f(x)=g(x)$ 有解，
即

${e}^{x}=b\sqrt{x}$ 有解，显然

$x\ne 0$ ，

$\therefore b=\dfrac{{e}^{x}}{\sqrt{x}}$ 在

$(0,+\infty )$ 上有解，
设

$h(x)=\dfrac{{e}^{x}}{\sqrt{x}}$ ，

$(x > 0)$ ，

$\therefore h\prime (x)=\dfrac{{e}^{x}(2x-1)}{2x\sqrt{x}}$ ，

$\therefore$ 当

$x\in (0,\dfrac{1}{2})$ 时，

$h\prime (x) < 0$ ；当

$x\in (\dfrac{1}{2}$ ，

$+\infty )$ 时，

$h\prime (x) > 0$ ，

$\therefore h(x)$ 在

$(0,\dfrac{1}{2})$ 上单调递减，在

$(\dfrac{1}{2}$ ，

$+\infty )$ 上单调递增，

$\therefore$

$h(x)_{min}=h(\dfrac{1}{2})=\sqrt{2e}$ ，且当

$x\rightarrow 0$ 时，

$h(x)\rightarrow +\infty$ ；当

$x\rightarrow +\infty$ 时，

$h(x)\rightarrow +\infty$ ，

$\therefore h(x)\in [\sqrt{2e}$ ，

$+\infty )$ ，

$\therefore b$ 的范围为

$[\sqrt{2e}$ ，

$+\infty )$ ；
（ⅱ）证明：令交点的横坐标为

$x_{0}$ ，则

${e}^{{x}_{0}}=a\sin {x}_{0}+b\sqrt{{x}_{0}}$ ，

$\therefore$ 由柯西不等式可得

${e}^{2{x}_{0}}=(a\sin {x}_{0}+b\sqrt{{x}_{0}})^{2}\leqslant (a^{2}+b^{2})(\sin ^{2}x_{0}+x_{0})$

$\therefore a^{2}+b^{2}\geqslant \dfrac{{e}^{2{x}_{0}}}{si{n}^{2}{x}_{0}+{x}_{0}}$ ，
又易证

$x > 0$ 时，

$x > \sin x$ ，

$e^{x} > ex$ ，

$e^{x} > x+1$ ，

$\therefore$

$\dfrac{{e}^{2{x}_{0}}}{si{n}^{2}{x}_{0}+{x}_{0}}=\dfrac{{e}^{{x}_{0}}\cdot {e}^{{x}_{0}}}{si{n}^{2}{x}_{0}+{x}_{0}} > \dfrac{e{x}_{0}\cdot ({x}_{0}+1)}{{x}_{0}^{2}+{x}_{0}}=e$ ，
故

$a^{2}+b^{2} > e$ ．
点评：本题考查导数的几何意义及直线的斜截式方程，将方程有解转化为函数值域，柯西不等式，常见不等式的结论，属中档题．

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