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2022年高考数学天津19

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（15分）椭圆

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的右焦点为

$F$ 、右顶点为

$A$ ，上顶点为

$B$ ，且满足

$\dfrac{\vert {BF}\vert }{\vert {AB}\vert }=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆的离心率

$e$ ；
（2）直线

$l$ 与椭圆有唯一公共点

$M$ ，与

$y$ 轴相交于

$N(N$ 异于

$M)$ ．记

$O$ 为坐标原点，若

$\vert OM\vert =\vert ON\vert$ ，且

$\Delta OMN$ 的面积为

$\sqrt{3}$ ，求椭圆的标准方程．
分析：（1）根据

$\dfrac{\vert {BF}\vert }{\vert {AB}\vert }=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 建立

$a$ ，

$b$ 的等式，再转化为

$a$ ，

$c$ 的等式，从而得离心率

$e$ 的值；
（2）先由（1）将椭圆方程转化为

$x^{2}+3y^{2}=a^{2}$ ，再设直线

$l$ 为

$y=kx+m$ ，联立椭圆方程求出点

$M$ 的坐标，再由△

$=0$ 及

$\vert OM\vert =\vert ON\vert$ ，且

$\Delta OMN$ 的面积为

$\sqrt{3}$ 建立方程组，再解方程组即可得解．
解：（1）

$\because$

$\dfrac{\vert {BF}\vert }{\vert {AB}\vert }=\dfrac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\dfrac{3}{4}$ ，

$\therefore a^{2}=3b^{2}$ ，

$\therefore a^{2}=3(a^{2}-c^{2})$ ，

$\therefore 2a^{2}=3c^{2}$ ，

$\therefore e=\sqrt{\dfrac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ ；
（2）由（1）可知椭圆为

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{\dfrac{{a}^{2}}{3}}=1$ ，
即

$x^{2}+3y^{2}=a^{2}$ ，
设直线

$l:y=kx+m$ ，联立

$x^{2}+3y^{2}=a^{2}$ ，消去

$y$ 可得：

$(3k^{2}+1)x^{2}+6kmx+(3m^{2}-a^{2})=0$ ，又直线

$l$ 与椭圆只有一个公共点，

$\therefore$ △

$=36k^{2}m^{2}-4(3k^{2}+1)(3m^{2}-a)=0$ ，

$\therefore 3m^{2}=a^{2}(3k^{2}+1)$ ，
又

${x}_{M}=\dfrac{-3km}{3{k}^{2}+1}$ ，

$\therefore$

${y}_{M}=k{x}_{M}+m=\dfrac{-3{k}^{2}m}{3{k}^{2}+1}+m=\dfrac{m}{3{k}^{2}+1}$ ，
又

$\vert OM\vert =\vert ON\vert$ ，

$\therefore$

$(\dfrac{-3km}{3{k}^{2}+1})^{2}+(\dfrac{m}{3{k}^{2}+1})^{2}={m}^{2}$ ，
解得

${k}^{2}=\dfrac{1}{3}$ ，

$\therefore k=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，
又

$\Delta OMN$ 的面积为

$\dfrac{1}{2}\cdot \vert ON\vert \cdot \vert {x}_{M}\vert =\dfrac{1}{2}\cdot \vert m\vert \cdot \vert \dfrac{-3km}{3{k}^{2}+1}\vert =\sqrt{3}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}{m}^{2}}{2}=\sqrt{3}$ ，

$\therefore m^{2}=4$ ，
又

$k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，

$3m^{2}=a^{2}(3k^{2}+1)$ ，

$\therefore a^{2}=6$ ，

$b^{2}=2$ ，

$\therefore$ 椭圆的标准方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{6}+\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$ ．
点评：本题考椭圆的性质，直线与椭圆相切的位置关系，方程思想，属中档题．

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