2022年高考数学天津7

（5分）已知抛物线

$y^{2}=4\sqrt{5}x$ ，

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ 分别是双曲线

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$ 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点

$F_{1}$ ，与双曲线的渐近线交于点

$A$ ，若

$\angle F_{1}F_{2}A=\dfrac{\pi }{4}$ ，则双曲线的标准方程为(　　)
A．

$\dfrac{x^2}{10}-y^{2}=1$ B．

$x^{2}-\dfrac{y^2}{16}=1$ C．

$x^{2}-\dfrac{y^2}{4}=1$ D．

$\dfrac{x^2}{4}-y^{2}=1$
分析：先由抛物线方程的准线方程，得双曲线的半焦距

$c$ ，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得

$\vert y_{A}\vert$ ，接着由

$\angle F_{1}F_{2}A=\dfrac{\pi }{4}$ ，可得

$\vert y_{A}\vert =\vert F_{1}F_{2}\vert$ ，从而得

$b=2a$ ，最后再通过

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 建立方程即可求解．
解：由题意可得抛物线的准线为

$x=-\sqrt{5}$ ，又抛物线的准线过双曲线的左焦点

$F_{1}$ ，

$\therefore c=\sqrt{5}$ ，联立

$\left\{\begin{array}{l}{x=-c}\\ {y=-\dfrac{b}{a}x}\end{array}\right.$ ，可得

$\vert y_{A}\vert =\dfrac{bc}{a}$ ，又

$\angle F_{1}F_{2}A=\dfrac{\pi }{4}$ ，

$\therefore \vert y_{A}\vert =\vert F_{1}F_{2}\vert$ ，

$\therefore$

$\dfrac{bc}{a}=2c$ ，

$\therefore b=2a$ ，

$\therefore b^{2}=4a^{2}$ ，
又

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$ ，

$\therefore 5=a^{2}+4a^{2}$ ，

$\therefore a^{2}=1$ ，

$b^{2}=4$ ，

$\therefore$ 双曲线的标准方程为

${x}^{2}-\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查抛物线的性质与双曲线的性质，方程思想，属基础题．

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