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2022年高考数学上海10<-->2022年高考数学上海12
（5分）若平面向量$\vert \overrightarrow{a}\vert =\vert \overrightarrow{b}\vert =\vert \overrightarrow{c}\vert =\lambda$，且满足$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=2$，$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=1$，则$\lambda =$ $\sqrt[4]{5}$ ．
分析：利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．
解：由题意，有$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，则$\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$，设$ < \overrightarrow{a},\overrightarrow{c} > =\theta$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=2}\\ {\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=1}\end{array}\right.$$\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left| {\vec{a}} \right|\left| {\vec{c}} \right|cos\theta =2, \\
\left| {\vec{b}} \right|\left| {\vec{c}} \right|cos\left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right)=1, \\
\end{array} \right.$
则$\dfrac{}{}$得，$\tan \theta =\dfrac{1}{2}$，
由同角三角函数的基本关系得：$\cos \theta =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
则$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\vert \overrightarrow{a}\vert \vert \overrightarrow{c}\vert \cos \theta =\lambda \cdot \lambda \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}=2$，
$\lambda ^{2}=\sqrt{5}$，
则$\lambda =\sqrt[4]{5}$．
故答案为：$\sqrt[4]{5}$．
点评：本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
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