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2022年高考数学乙卷-文19

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（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：

$m^{2})$ 和材积量（单位：

$m^{3})$ ，得到如下数据：

样本号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积 $x_{i}$	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量 $y_{i}$	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得

$\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=0.038$ ，

$\sum\limits_{i=1}^{10}y_{i}^{2}=1.6158$ ，

$\sum\limits_{i=1}^{10}x_{i}y_{i}=0.2474$ ．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到

$0.01)$ ；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为

$186m^{2}$ ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数

$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n{({{x_i}-\overline{x}})}({{y_i}-\overline{y}})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{{({{x_i}-\overline{x}})}^2}\sum\limits_{i=1}^n{{({{y_i}-\overline{y}})}^2}}}$ ，

$\sqrt{1.896}\approx 1.377$ ．
分析：根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．
解：（1）设这种树木平均一棵的根部横截面积为

$\overline{x}$ ，平均一棵的材积量为

$\overline{y}$ ，
则根据题中数据得：

$\overline{x}=\dfrac{0.6}{10}=0.06m^{2}$ ，

$\overline{y}=\dfrac{3.9}{10}=0.39m^{3}$ ；
（2）由题可知，

$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{10}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{10}({x}_{i}-\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{10}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}=\dfrac{0.0134}{\sqrt{0.002\times 0.0948}}=\dfrac{0.0134}{0.01\times \sqrt{1.896}}=\dfrac{0.0134}{0.01377}\approx 0.97$ ；
（3）设总根部面积和

$X$ ，总材积量为

$Y$ ，则

$\dfrac{X}{Y}=\dfrac{\overline{x}}{\overline{y}}$ ，故

$Y=\dfrac{0.39}{0.06}\times 186=1209(m^{3})$ ．
点评：本题考查线性回归方程，属于中档题．

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