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2022年高考数学乙卷-理23

[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知$a$,$b$,$c$都是正数,且${a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}=1$,证明:
(1)$abc\leqslant \dfrac{1}{9}$;
(2)$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$.
分析:结合基本不等式与恒成立问题证明即可.
解答:解:(1)证明:$\because a$,$b$,$c$都是正数,
$\therefore$${a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}\geqslant 3\sqrt{abc}$,当且仅当$a=b=c={3}^{-\dfrac{2}{3}}$时,等号成立.
因为${a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}=1$,
所以$1\geqslant 3(abc){}^{\dfrac{1}{2}}$,
所以$\dfrac{1}{3}\geqslant (abc){}^{\dfrac{1}{2}}$,
所以$abc\leqslant \dfrac{1}{9}$,得证.
(2)根据基本不等式$b+c\geqslant 2\sqrt{bc}$,$a+c\geqslant 2\sqrt{ac}$,$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$,
$\therefore$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\leqslant \dfrac{a}{2\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{ac}}+\dfrac{c}{2\sqrt{ab}}=\dfrac{{a}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{b}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{c}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{{a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$,
当且仅当$a=b=c$时等号成立,故得证.
点评:本题考查基本不等式的应用,属于中档题.
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