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2022年高考数学乙卷-理23

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[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 都是正数，且

${a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}=1$ ，证明：
（1）

$abc\leqslant \dfrac{1}{9}$ ；
（2）

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$ ．
分析：结合基本不等式与恒成立问题证明即可．
解答：解：（1）证明：

$\because a$ ，

$b$ ，

$c$ 都是正数，

$\therefore$

${a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}\geqslant 3\sqrt{abc}$ ，当且仅当

$a=b=c={3}^{-\dfrac{2}{3}}$ 时，等号成立．
因为

${a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}=1$ ，
所以

$1\geqslant 3(abc){}^{\dfrac{1}{2}}$ ，
所以

$\dfrac{1}{3}\geqslant (abc){}^{\dfrac{1}{2}}$ ，
所以

$abc\leqslant \dfrac{1}{9}$ ，得证．
（2）根据基本不等式

$b+c\geqslant 2\sqrt{bc}$ ，

$a+c\geqslant 2\sqrt{ac}$ ，

$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\leqslant \dfrac{a}{2\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{ac}}+\dfrac{c}{2\sqrt{ab}}=\dfrac{{a}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{b}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}+\dfrac{{c}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{{a}^{\dfrac{3}{2}}+{b}^{\dfrac{3}{2}}+{c}^{\dfrac{3}{2}}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$ ，
当且仅当

$a=b=c$ 时等号成立，故得证．
点评：本题考查基本不等式的应用，属于中档题．

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