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2022年高考数学乙卷-理22

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[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
（10分）在直角坐标系

$xOy$ 中，曲线

$C$ 的参数方程为

$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos 2t,\\ y=2\sin t\end{array}\right.(t$ 为参数）．以坐标原点为极点，

$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线

$l$ 的极坐标方程为

$\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{3})+m=0$ ．
（1）写出

$l$ 的直角坐标方程；
（2）若

$l$ 与

$C$ 有公共点，求

$m$ 的取值范围．
分析：（1）由

$\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{3})+m=0$ ，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得

$l$ 的直角坐标方程；
（2）化曲线

$C$ 的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线

$C$ 的方程，化为关于

$y$ 的一元二次方程，再求解

$m$ 的取值范围．
解答：解：（1）由

$\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{3})+m=0$ ，得

$\rho (\sin \theta \cos \dfrac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \dfrac{\pi }{3})+m=0$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{2}\rho \sin \theta +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\rho \cos \theta +m=0$ ，
又

$x=\rho \cos \theta$ ，

$y=\rho \sin \theta$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{2}y+\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+m=0$ ，
即

$l$ 的直角坐标方程为

$\sqrt{3}x+y+2m=0$ ；
（2）由曲线

$C$ 的参数方程为

$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos 2t,\\ y=2\sin t\end{array}\right.(t$ 为参数）．
消去参数

$t$ ，可得

${y}^{2}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}x+2$ ，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y+2m=0}\\ {{y}^{2}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}x+2}\end{array}\right.$ ，得

$3y^{2}-2y-4m-6=0(-2\leqslant y\leqslant 2)$ ．

$\therefore 4m=3y^{2}-2y-6$ ，
令

$g(y)=3y^{2}-2y-6(-2\leqslant y\leqslant 2)$ ，
可得

$g(y)_{min}=g(\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}-6=-\dfrac{19}{3}$ ，当

$y=-2$ 时，

$g(y)_{max}=g(-2)=10$ ，

$\therefore -\dfrac{19}{3}\leqslant 4m\leqslant 10$ ，

$-\dfrac{19}{12}\leqslant m\leqslant \dfrac{5}{2}$ ，

$\therefore m$ 的取值范围是

$[-\dfrac{19}{12}$ ，

$\dfrac{5}{2}]$ ．
点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．

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