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2022年高考数学甲卷-理18

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（12分）在四棱锥

$P-ABCD$ 中，

$PD\bot$ 底面

$ABCD$ ，

$CD//AB$ ，

$AD=DC=CB=1$ ，

$AB=2$ ，

$DP=\sqrt{3}$ ．
（1）证明：

$BD\bot PA$ ；
（2）求

$PD$ 与平面

$PAB$ 所成的角的正弦值．

分析：（1）易知

$PD\bot BD$ ，取

$AB$ 中点

$E$ ，容易证明四边形

$BCDE$ 为平行四边形，再根据长度关系可得

$BD\bot AD$ ，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面

$PAB$ 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
解答：解：（1）证明：

$\because PD\bot$ 底面

$ABCD$ ，

$BD\subset$ 面

$ABCD$ ，

$\therefore PD\bot BD$ ，
取

$AB$ 中点

$E$ ，连接

$DE$ ，

$\because AD=DC=CB=1$ ，

$AB=2$ ，

$\therefore \angle DAB=60^\circ$ ，又

$\because AE=\dfrac{1}{2}AB=AD=1$ ，

$\therefore DE=1$ ，

$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AB$ ，

$\therefore \Delta ABD$ 为直角三角形，且

$AB$ 为斜边，

$\therefore BD\bot AD$ ，
又

$PD\bigcap AD=D$ ，

$PD\subset$ 面

$PAD$ ，

$AD\subset$ 面

$PAD$ ，

$\therefore BD\bot$ 面

$PAD$ ，
又

$PA\subset$ 面

$PAD$ ，

$\therefore BD\bot PA$ ；
（2）由（1）知，

$PD$ ，

$AD$ ，

$BD$ 两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，

$BD=\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{3}$ ，
则

$D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,\sqrt{3},0),P(0,0,\sqrt{3})$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{PD}=(0,0,-\sqrt{3}),\overrightarrow{PA}=(1,0,-\sqrt{3}),\overrightarrow{AB}=(-1,\sqrt{3},0)$ ，
设平面

$PAB$ 的一个法向量为

$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$ ，则

$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{PA}=x-\sqrt{3}z=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$ ，则可取

$\overrightarrow{n}=(\sqrt{3},1,1)$ ，
设

$PD$ 与平面

$PAB$ 所成的角为

$\theta$ ，则

$\sin \theta =\vert \cos < \overrightarrow{PD},\overrightarrow{n} > \vert =\vert \dfrac{\overrightarrow{PD}\cdot \overrightarrow{n}}{\vert \overrightarrow{PD}\vert \vert \overrightarrow{n}\vert }\vert =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ，

$\therefore PD$ 与平面

$PAB$ 所成的角的正弦值为

$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ．

解答：本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．

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