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2022年高考数学甲卷-理17

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（12分）记

$S_{n}$ 为数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和．已知

$\dfrac{2{S_n}}{n}+n=2a_{n}+1$ ．
（1）证明：

$\{a_{n}\}$ 是等差数列；
（2）若

$a_{4}$ ，

$a_{7}$ ，

$a_{9}$ 成等比数列，求

$S_{n}$ 的最小值．
分析：（1）由已知把

$n$ 换为

$n+1$ 作差可得递推关系从而证明，
（2）由

$a_{4}$ ，

$a_{7}$ ，

$a_{9}$ 成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出

$a_{n}$ 正负分界点计算即可．
解答：解：（1）证明：由已知有：

$2{S}_{n}+{n}^{2}=2n{a}_{n}+n\dotsb$ ①，
把

$n$ 换成

$n+1$ ，

$2{S}_{n+1}+(n+1)^{2}=2(n+1){a}_{n+1}+n+1\dotsb$ ②，
②

$-$ ①可得：

$2a_{n+1}=2(n+1)a_{n+1}-2na_{n}-2n$ ，
整理得：

$a_{n+1}=a_{n}+1$ ，
由等差数列定义有

$\{a_{n}\}$ 为等差数列；
（2）由已知有

${{a}_{7}}^{2}={a}_{4}\cdot {a}_{9}$ ，设等差数列

$a_{n}$ 的首项为

$x$ ，由（1）有其公差为1，
故

$(x+6)^{2}=(x+3)(x+8)$ ，解得

$x=-12$ ，故

$a_{1}=-12$ ，
所以

$a_{n}=-12+(n-1)\times 1=n-13$ ，
故可得：

$a_{1} < a_{2} < a_{3} < \dotsb < a_{12} < 0$ ，

$a_{13}=0$ ，

$a_{14} > 0$ ，
故

$S_{n}$ 在

$n=12$ 或者

$n=13$ 时取最小值，

${S}_{12}={S}_{13}=\dfrac{(-12+0)\times 13}{2}=-78$ ，
故

$S_{n}$ 的最小值为

$-78$ ．
解答：本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前

$n$ 项和的最小值，属于中档题．

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