2022年高考数学甲卷-理14

（5分）若双曲线

$y^{2}-\dfrac{x^2}{m^2}=1(m > 0)$ 的渐近线与圆

$x^{2}+y^{2}-4y+3=0$ 相切，则

$m=$ 　

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 　．
分析：求出渐近线方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离等于半径求解即可．
解答：解：双曲线

$y^{2}-\dfrac{x^2}{m^2}=1(m > 0)$ 的渐近线：

$x=\pm my$ ，
圆

$x^{2}+y^{2}-4y+3=0$ 的圆心

$(0,2)$ 与半径1，
双曲线

$y^{2}-\dfrac{x^2}{m^2}=1(m > 0)$ 的渐近线与圆

$x^{2}+y^{2}-4y+3=0$ 相切，

$\dfrac{2m}{\sqrt{1+{m}^{2}}}=1$ ，解得

$m=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，

$m=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 舍去．
故答案为：

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ．
解答：本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的判断，是中档题．

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