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2021年高考数学新高考Ⅰ-11<-->2021年高考数学新高考Ⅰ-13
（5分）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足→BP=λ→BC+μ→BB1，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则( )
A．当λ=1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ=1时，三棱锥P−A1BC的体积为定值
C．当λ=12时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ=12时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
分析：判断当λ=1时，点P在线段CC1上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；当μ=1时，点P在线段B1C1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当λ=12时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，则点P在线段M1M上，分别取点P在M1，M处，得到均满足A1P⊥BP，即可判断选项C；当μ=12时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，则点P在线的DD1上，证明当点P在点D1处时，A1B⊥平面AB1D1，利用过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，即可判断选项D．
解：对于A，当λ=1时，→BP=→BC+μ→BB1，即→CP=μ→BB1，所以→CP//→BB1，
故点P在线段CC1上，此时△AB1P的周长为AB1+B1P+AP，
当点P为CC1的中点时，△AB1P的周长为√5+√2，
当点P在点C1处时，△AB1P的周长为2√2+1，
故周长不为定值，故选项A错误；
对于B，当μ=1时，→BP=λ→BC+→BB1，即→B1P=λ→BC，所以→B1P//→BC，
故点P在线段B1C1上，
因为B1C1//平面A1BC，
所以直线B1C1上的点到平面A1BC的距离相等，
又△A1BC的面积为定值，
所以三棱锥P−A1BC的体积为定值，故选项B正确；
对于C，当λ=12时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，
因为→BP=12→BC+μ→BB1，即→MP=μ→BB1，所以→MP//→BB1，
则点P在线段M1M上，
当点P在M1处时，A1M1⊥B1C1，A1M1⊥B1B，
又B1C1∩B1B=B1，所以A1M1⊥平面BB1C1C，
又BM1⊂平面BB1C1C，所以A1M1⊥BM1，即A1P⊥BP，
同理，当点P在M处，A1P⊥BP，故选项C错误；
对于D，当μ=12时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，
因为→BP=λ→BC+12→BB1，即→DP=λ→BC，所以→DP//→BC，
则点P在线的DD1上，
当点P在点D1处时，取AC的中点E，连结A1E，BE，
因为BE⊥平面ACC1A1，又AD1⊂平面ACC1A1，所以AD1⊥BE，
在正方形ACC1A1中，AD1⊥A1E，
又BE∩A1E=E，BE，A1E⊂平面A1BE，
故AD1⊥平面A1BE，又A1B⊂平面A1BE，所以A1B⊥AD1，
在正方体形ABB1A1中，A1B⊥AB1，
又AD1∩AB1=A，AD1，AB1⊂平面AB1D1，所以A1B⊥平面AB1D1，
因为过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，故选项D正确．
故选：BD．
点评：本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．
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