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2021年高考数学上海春10<-->2021年高考数学上海春12
11．（5分）已知椭圆$x^{2}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(0<b<1)$的左、右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，以$O$为顶点，$F_{2}$为焦点作抛物线交椭圆于$P$，且$\angle PF_{1}F_{2}=45\circ$，则抛物线的准线方程是____．
分析：先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线$PF_{1}$的方程并与抛物线方程联立，求出点$P$的坐标，由此可得$PF_{2}\bot F_{1}F_{2}$，进而可以求出$PF_{1}$，$PF_{2}$的长度，再由椭圆的定义即可求解．
解：设$F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，则抛物线$y^{2}=4cx$，
直线$PF_{1}:y=x+c$，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4cx}\\ {y=x+c}\end{array}\right.$，解得$x=c$，$y=2c$，
所以点$P$的坐标为$(c,2c)$，所以$PF_{2}\bot F_{1}F_{2}$，又$P{{F}_{2}}={{F}_{2}}{{F}_{1}}=2c,P{{F}_{1}}=2\sqrt{2}c$
所以$PF{}_{1}+P{F}_{2}=(2+2\sqrt{2})c=2a=2$，
则$c=\sqrt{2}-1$，
所以抛物线的准线方程为：$x=-c=1-\sqrt{2}$，
故答案为：$x=1-\sqrt{2}$．
点评：本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
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