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2021年高考数学乙卷-文20<-->2021年高考数学乙卷-文22
21．（12分）已知函数$f(x)=x^{3}-x^{2}+ax+1$．
（1）讨论$f(x)$的单调性；
（2）求曲线$y=f(x)$过坐标原点的切线与曲线$y=f(x)$的公共点的坐标．
分析：（1）对函数$f(x)$求导，分$a\geqslant \dfrac{1}{3}$及$a<\dfrac{1}{3}$讨论导函数与零的关系，进而得出$f(x)$的单调性情况；
（2）先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线$y=f(x)$联立，即可求得公共点坐标．
解：（1）$f\prime (x)=3x^{2}-2x+a$，△$=4-12a$，
①当△$\leqslant 0$，即$a\geqslant \dfrac{1}{3}$时，由于$f\prime (x)$的图象是开口向上的抛物线，故此时$f\prime (x)\geqslant 0$，则$f(x)$在$R$上单调递增；
②当△$>0$，即$a<\dfrac{1}{3}$时，令$f\prime (x)=0$，解得${x}_{1}=\dfrac{1-\sqrt{1-3a}}{3},{x}_{2}=\dfrac{1+\sqrt{1-3a}}{3}$，
令$f\prime (x)>0$，解得$x<x_{1}$或$x>x_{2}$，令$f\prime (x)<0$，解得$x_{1}<x<x_{2}$，
$\therefore f(x)$在$(-\infty ,x_{1})$，$(x_{2}$，$+\infty )$单调递增，在$(x_{1}$，$x_{2})$单调递减；
综上，当$a\geqslant \dfrac{1}{3}$时，$f(x)$在$R$上单调递增；当$a<\dfrac{1}{3}$时，$f(x)$在$(-\infty ,\dfrac{1-\sqrt{1-3a}}{3}),(\dfrac{1+\sqrt{1-3a}}{3},+\infty )$单调递增，在$(\dfrac{1-\sqrt{1-3a}}{3},\dfrac{1+\sqrt{1-3a}}{3})$单调递减．
（2）设曲线$y=f(x)$过坐标原点的切线为$l$，切点为$({x}_{0},{{x}_{0}}^{3}-{{x}_{0}}^{2}+a{x}_{0}+1),{f}'({x}_{0})=3{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+a$，
则切线方程为$y-({{x}_{0}}^{3}-{{x}_{0}}^{2}+a{x}_{0}+1)=(3{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+a)(x-{x}_{0})$，
将原点代入切线方程有，$2{{x}_{0}}^{3}-{{x}_{0}}^{2}-1=0$，解得$x_{0}=1$，
$\therefore$切线方程为$y=(a+1)x$，
令$x^{3}-x^{2}+ax+1=(a+1)x$，即$x^{3}-x^{2}-x+1=0$，解得$x=1$或$x=-1$，
$\therefore$曲线$y=f(x)$过坐标原点的切线与曲线$y=f(x)$的公共点的坐标为$(1,a+1)$和$(-1,-a-1)$．
点评：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
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