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2021年高考数学甲卷-文15<-->2021年高考数学甲卷-文17
16．（5分）已知$F_{1}$，$F_{2}$为椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$的两个焦点，$P$，$Q$为$C$上关于坐标原点对称的两点，且$\vert PQ\vert =\vert F_{1}F_{2}\vert$，则四边形$PF_{1}QF_{2}$的面积为____．
分析：判断四边形$PF_{1}QF_{2}$为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可．
解：因为$P$，$Q$为$C$上关于坐标原点对称的两点，且$\vert PQ\vert =\vert F_{1}F_{2}\vert$，
所以四边形$PF_{1}QF_{2}$为矩形，
设$\vert PF_{1}\vert =m$，$\vert PF_{2}\vert =n$，
由椭圆的定义可得$\vert \vert PF_{1}\vert +\vert PF_{2}\vert \vert =m+n=2a=8$，
所以$m^{2}+2mn+n^{2}=64$，
因为$\vert PF_{1}\vert ^{2}+\vert PF_{2}\vert ^{2}=\vert F_{1}F_{2}\vert ^{2}=4c^{2}=4(a^{2}-b^{2})=48$，
即$m^{2}+n^{2}=48$，
所以$mn=8$，
所以四边形$PF_{1}QF_{2}$的面积为$\vert PF_{1}\vert \vert PF_{2}\vert =mn=8$．
故答案为：8．
点评：本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
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