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2021年高考数学北京19

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19．（15分）已知函数

$f(x)=\dfrac{3-2x}{{x}^{2}+a}$ ．
（1）若

$a=0$ ，求

$y=f(x)$ 在

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 处的切线方程；
（2）若函数

$f(x)$ 在

$x=-1$ 处取得极值，求

$f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．
分析：（1）求得

$a=0$ 时，

$f(x)$ 的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得

$f(x)$ 的导数，由题意可得

$f\prime (-1)=0$ ，解得

$a$ ，进而得到

$f(x)$ 和导数，令导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到所求最值．
解：（1）

$f(x)=\dfrac{3-2x}{{x}^{2}}$ 的导数为

$f\prime (x)=\dfrac{-2{x}^{2}-2x(3-2x)}{{x}^{4}}=\dfrac{2x-6}{{x}^{3}}$ ，
可得

$y=f(x)$ 在

$(1,1)$ 处的切线的斜率为

$-4$ ，
则

$y=f(x)$ 在

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 处的切线方程为

$y-1=-4(x-1)$ ，
即为

$y=-4x+5$ ；
（2）

$f(x)=\dfrac{3-2x}{{x}^{2}+a}$ 的导数为

$f\prime (x)=\dfrac{-2({x}^{2}+a)-2x(3-2x)}{({x}^{2}+a)^{2}}$ ，
由题意可得

$f\prime (-1)=0$ ，即

$\dfrac{8-2a}{(a+1)^{2}}=0$ ，解得

$a=4$ ，
可得

$f(x)=\dfrac{3-2x}{{x}^{2}+4}$ ，

$f\prime (x)=\dfrac{2(x+1)(x-4)}{({x}^{2}+4)^{2}}$ ，
当

$x>4$ 或

$x<-1$ 时，

$f\prime (x)>0$ ，

$f(x)$ 递增；当

$-1<x<4$ 时，

$f\prime (x)<0$ ，

$f(x)$ 递减．
函数

$y=f(x)$ 的图象如右图，当

$x\rightarrow -\infty$ ，

$y\rightarrow 0$ ；

$x\rightarrow +\infty$ ，

$y\rightarrow 0$ ，

则

$f(x)$ 在

$x=-1$ 处取得极大值1，且为最大值1；在

$x=4$ 处取得极小值

$-\dfrac{1}{4}$ ，且为最小值

$-\dfrac{1}{4}$ ．
所以

$f(x)$ 的增区间为

$(-\infty ,-1)$ ，

$(4,+\infty )$ ，减区间为

$(-1,4)$ ；

$f(x)$ 的最大值为1，最小值为

$-\dfrac{1}{4}$ ．

点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

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